,

จาก

$$A=\left\{ x \mid \log_2(-3\cos x) = 1 + 2 \log_2\sin x \right\}$$

เราจะแก้สมการ $\log_2(-3\cos x) = 1 + 2 \log_2\sin x$ เพื่อหาค่า $x$

เริ่มจากการทำฐานของลอการิทึมให้เท่ากันก่อน ซึ่ง $1 = \log_2 2$ จะได้เป็น

$\log_2(-3\cos x) = \log_2 2 + 2 \log_2\sin x$

และจากสมบัติที่ว่า $a\log b = \log b^a$ และ $\log_a b + \log_a c = \log_a bc$ จะแก้สมการได้ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \log_2(-3\cos x) &=& \log_2 2 + 2 \log_2\sin x\\ \log_2(-3\cos x) &=& \log_2 2 + \log_2\sin^2 x\\ \log_2(-3\cos x) &=& \log_2 2\sin^2 x\\ \end{eqnarray*}$$

เมื่อฐานเท่ากันแล้วจึงจับค่าหลังลอการิทึมมาเท่ากัน จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} -3\cos x &=& 2\sin^2 x\\ -3\cos x &=& 2 (1 - \cos^2 x)\\ -3\cos x &=& 2 - 2\cos^2 x\\ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 &=& 0 \end{eqnarray*}$$

แยกตัวประกอบ

$$\begin{eqnarray*} (2\cos x + 1)(\cos x - 2) &=& 0\\ \cos x &=& -\frac 12 , 2 \end{eqnarray*}$$

แต่จากช่วงเรนจ์ของ $\cos x$ คือ $-1 \le \cos x \le 1$ จึงได้ว่า $\cos x = -\frac 12$ เท่านั้น

และโจทย์กำหนดให้ $0\leq x \leq 2\pi$ ดังนั้นค่า $x = \frac {2\pi}{3}$ และ $x = \frac {4\pi}{3}$

แต่ถ้าหากเราทดลองแทนค่าทั้ง $2$ คำตอบลงในสมาการเริ่มต้นจะพบว่า ถ้า $x = \frac{4\pi}{3}$ จะทำให้

$$\begin{eqnarray*} \log_2 \left( \sin x \right) &=& \log_2 \left(\sin\left( \frac{4\pi}{3} \right)\right) \\ &=& \log_2 \left( - \frac{\sqrt3}{2} \right) \end{eqnarray*}$$

ซึ่งทำให้ค่าหลัง $\log$ ติดลบ จึงไม่ใช่คำตอบ

จะได้ว่าเซต $A = \left \{ \frac {2\pi}{3}  \right \}$

,

จาก

$$B=\left\{ \sec 3x - \cos 2x \mid x\in A \right\}$$

$x\in A$ มีตัวเดียวคือ $x = \frac {2\pi}{3}$

ซึ่งจะได้

$$\begin{eqnarray*} \sec 3x - \cos 2x &=& \sec 3 \left( \frac {2\pi}{3} \right) - \cos 2 \left( \frac {2\pi}{3} \right)\\ &=& \sec 2\pi - \cos  \frac {4\pi}{3}\\ &=& 1 - \left(- \frac {1}{2} \right)\\ &=& 1.5 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $B = \{ 1.5 \}$

ผลบวกสมาชิกใน $B$ จึงเท่ากับ $1.5$