กำหนดให้ $\left\{a_n \right\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_1 = 1$ และ

$$a_n = (-1)^n \left( \log_n \frac12 \right) \left( \log_{n-1} \frac13 \right) \cdots \left( \log_2\frac1n \right)$$

สำหรับ $n>1$ และ

$$b_n = {\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{k^4+k^2+1} \right) }$$

จงหาค่า $c$ ที่ทำให้ ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left( a_n + c\cdot b_n \right) = 4}$