,

เวลาจัดรูปเราจะพยายามเปลี่ยนทุกค่าให้อยู่ในรูป $\sin$ หรือ $\cos$ เพื่อความสะดวกมากขึ้น จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \tan20^{\circ} + 4\sin20^{\circ} &=& \frac {\sin20^{\circ}}{\cos20^{\circ}} + 4\sin20^{\circ}\\ &=& \frac {\sin20^{\circ} + 4\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ \end{eqnarray*}$$

เปลี่ยนรูปจากสมบัติที่ว่า $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ และให้ $A = 20^{\circ}$ จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {\sin20^{\circ} + 2(2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ})}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {\sin20^{\circ} + 2\sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {\sin20^{\circ} + \sin40^{\circ} + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}} \end{eqnarray*}$$

ใช้สูตรผลบวก-ผลคูณมุมที่ว่า $\sin (A-B) +\sin (A+B) = 2\sin A \cos B$ 

เปลี่ยนผลบวกมุมในโจทย์ให้กลายเป็นผลคูณ จึงให้ $A = 30^{\circ}$ และ $B = 10^{\circ}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {\sin(30^{\circ} - 10^{\circ}) + \sin(30^{\circ} + 10^{\circ}) + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {2\sin30^{\circ}\cos10^{\circ} + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {2(\frac 12)\cos10^{\circ} + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {\cos10^{\circ} + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ \end{eqnarray*}$$

เปลี่ยนมุม $\cos$ ให้เป็นมุม $\sin$ จะได้ $\cos 10^{\circ} = \sin 80^{\circ}$ ได้เป็น

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {\sin80^{\circ} + \sin40^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ \end{eqnarray*}$$

ใช้สูตรผลบวก-ผลคูณมุมของ $\sin$ เหมือนเดิม จะได้เป็น

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {\sin(60^{\circ}+20^{\circ}) + \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {2\sin60^{\circ} \cos20^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \frac {2(\frac {\sqrt3}{2}) \cos20^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\ &=& \sqrt 3 \end{eqnarray*}$$

,

ตอนนี้รูปโจทย์เป็นผลคูณของ $\sin$ อยู่ จึงจะใช้สูตร $\cos (A-B) - \cos (A+B) = 2\sin A\sin B$

เลือกจับคู่ไหนหาก่อนก็ได้ เพราะสุดท้ายก็จะได้ค่าเท่ากันอยู่ดี ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\sin80^{\circ} &=&  \frac {(2\sin40^{\circ}\sin20^{\circ})\sin80^{\circ}}{2}\\ &=& \frac {(\cos(40^{\circ}-20^{\circ}) - \cos(40^{\circ}+20^{\circ}))\sin80^{\circ}}{2}\\ &=& \frac {(\cos 20^{\circ} - \cos60^{\circ})\sin80^{\circ}}{2}\\ &=& \frac {(\cos 20^{\circ} - (\frac 12))\sin80^{\circ}}{2} \end{eqnarray*}$$

จัดรูปต่อ

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {(\cos 20^{\circ} - (\frac 12))\cos10^{\circ}}{2}\\ &=& \frac {\cos 20^{\circ}\cos10^{\circ} - (\frac 12)\cos10^{\circ}}{2}\\ &=& \frac {2\cos 20^{\circ}\cos10^{\circ} - \cos10^{\circ}}{4} \end{eqnarray*}$$

จากสมบัติที่ว่า $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2\cos A\cos B$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} &=& \frac {(\cos (20^{\circ}+10^{\circ}) + \cos (20^{\circ} - 10^{\circ})) - \cos10^{\circ}}{4}\\ &=& \frac {\cos 30^{\circ} + \cos10^{\circ} - \cos10^{\circ}}{4}\\ &=& \frac {\frac {\sqrt 3}{2}}{4}\\ &=& \frac {\sqrt 3}{8} \end{eqnarray*}$$

,

ดังนั้น 

$$\begin{eqnarray*} \frac{\tan20^{\circ} + 4\sin20^{\circ}}{\sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\sin80^{\circ}} &=& \frac {\sqrt 3}{\frac {\sqrt 3}{8}}\\ &=& 8 \end{eqnarray*}$$