กำหนดให้ $A=\left[\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 4
\end{array}\right],I=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่ $ab\neq0$

และเมทริกซ์ $A$ สอดคล้องกับสมการ $2(A-I)^{-1}=4I-A$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $ab=2$

(ข) $\det\left(3A^2A^tA^{-1}\right)=324$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณค่า $ab$ จากสมการ $2(A-I)^{-1} = 4I-A$[/STEP]

เนื่องจากข้อความ (ก) ถามถึงค่าของ $ab$ และถ้าหากเราคำนวณค่า $\det{A}$ จะพบว่าติดอยู่ในรูปของ $ab$ พอดี ถ้าหากเราทราบค่าของ $ab$ จะทำให้เราสามารถคำนวณ $\det\left(3A^2A^tA^{-1}\right)$ ได้โดยที่ไม่จำเป็นต้องทราบค่าของ $a$ และ $b$ เป็นรายตัวเลย

จากสมการ $2(A-I)^{-1} = 4I-A$ คูณทั้งสองข้างด้วย $(A-I)$ ด้านขวา จะได้

\begin{eqnarray*}
2\left(A-I\right)^{-1} & = & 4I-A\\
2\left(A-I\right)^{-1}\left(A-I\right) & = & \left(4I-A\right)\left(A-I\right)\\
2I & = & 4A-4I^{2}-A^{2}+A\\
2I & = & 4A-4I-A^{2}+A\\
2I+4I & = & 5A-A^{2}\\
6I & = & 5A-A^{2}
\end{eqnarray*}

เมื่อพิจารณาเฉพาะตำแหน่ง $11$ ของเมทริกซ์ทั้งสองข้างของสมการ จะได้
(เครื่องหมาย $*$ แทนส่วนที่ไม่จำเป็นต้องคำนวณ)

\begin{eqnarray*}
6I & = & 5A-A^{2}\\
\left(\begin{array}{cc}
6 & 0\\
0 & 6
\end{array}\right) & = & 5\left(\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 4
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & a\\
b & 4
\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{cc}
6 & *\\
* & *
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{cc}
5 & *\\
* & *
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
1+ab & *\\
* & *
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $6=6-(1+ab)$ แก้สมการหาค่า $ab$ จะได้

\begin{eqnarray*}
6 & = & 5-\left(1+ab\right)\\
6 & = & 5-1-ab\\
ab & = & 5-1-6\\
ab & = & -2
\end{eqnarray*}

จะได้ $ab=-2$

ดังนั้นข้อความ (ก) ผิด

[STEP]คำนวณ $\det{A}$ และ $\det\left(3A^2A^tA^{-1}\right)$[/STEP]

คำนวณ $\det{A}$ โดยคูณเฉียงขึ้นกลับเครื่องหมายบวกกับคูณลงดังรูป

จะเห็นว่า $$\det{A} = (1)(4)-(b)(a) = 4-ab$$

แทนค่า $ab=-2$ ลงไป จะได้

$$\det{A} = 4-ab = 4-(-2) = 6$$

คำนวณ $\det\left(3A^2A^tA^{-1}\right)$ โดยใช้สมบัติของ $\det$ ดึงค่าคงตัว $3$ ออกมาก่อน จากนั้นแยกผลคูณ $\det$

\begin{eqnarray*}
\det\left(3A^{2}A^{t}A^{-1}\right) & = & 3^{2}\det\left(A^{2}A^{t}A^{-1}\right)\\
 & = & 9\det\left(A^{2}\right)\times\det A^{t}\times\frac{1}{\det A}\\
 & = & 9\left(\det A\right)^{2}\times\det A\times\frac{1}{\det A}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\det{A}=6$ ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
\det\left(3A^{2}A^{t}A^{-1}\right) & = & 9\left(\det A\right)^{2}\times\det A\times\frac{1}{\det A}\\
 & = & 9\left(6\right)^{2}\times\left(6\right)\times\frac{1}{\left(6\right)}\\
 & = & 9\left(36\right)\\
 & = & 324
\end{eqnarray*}

ซึ่งทำให้ได้ว่าข้อความ (ข) กล่าวถูก

[ANS] (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก [/ANS]

ในการคำนวณหาค่า $ab$ นั้น เราสามารถคำนวณจากสมการ $2(A-I)^{-1} = 4A-A$ ตรงๆ ก็ได้เช่นเดียวกัน เพียงแต่กระบวนการคำนวณอินเวอร์สมักทำให้เสียเวลามากกว่าวิธีที่แสดงไว้ด้านบน

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การหาดีเทอร์มิแนนต์จากสมการเมทริกซ์