,

จาก (ก) $a=b+d$ จะได้

$$d=a-b$$

แทนค่า $b+d$ ด้วย $a$ ในด้านซ้ายของสมการ (ข) และแทนค่า $d$ ด้วย $a-b$ ในด้านขวาของสมการ (ข) จะได้

$$\begin{eqnarray*} (a+b+c+d) b &=& (a-c) d\\ \left[a+c+(b+d)\right]b &=& (a-c)(d)\\ \left[a+c+(a)\right]b &=& (a-c)(a-b)\\ (2a+c)b &=& (a-c)(a-b)\\ 2ab+bc &=& a^2-ab-ac+bc\\ 2ab+\cancel{bc} &=& a^2-ab-ac+\cancel{bc}\\ 2ab &=& a^2 -ab-ac\\ 3ab+ac &=& a^2 \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $a>0$ เพราะว่าเป็นจำนวนเต็มบวก เราจึงสามารถหารตลอดสมการข้างบนด้วย $a$

$$\begin{eqnarray*} 3ab+ac &=& a^2 \\ a(3b+c) &=& a^2 \\ \frac{a(3b+c)}{a} &=& \frac{a^2}{a}\\ \frac{\cancel{a}(3b+c)}{\cancel{a}} &=& \frac{{a}^{\bcancel{2}}}{\bcancel{a}}\\ 3b+c &=& a \qquad\cdots(1) \end{eqnarray*}$$

,

แทนค่า $a$ ด้วย $b+d$ จาก (ก) ลงไปในด้านขวาของสมการ (ค) แล้วกระจาย จะได้

$$\begin{eqnarray*} 2+cd &=& a(c-1)\\ 2+cd &=& (b+d)(c-1)\\ 2+cd &=& bc -b +cd -d\\ 2+\cancel{cd} &=& bc -b +\cancel{cd} -d\\ 2 &=& bc - b -d\\ 2+b+d &=& bc \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $b+d$ ด้วย $a$ จาก (ก) ลงไปทางซ้ายของสมการด้านบนอีกครั้ง

$$\begin{eqnarray*} 2+b+d &=& bc\\ 2+(b+d) &=& bc\\ 2+(a) &=& bc\\ 2+a &=& bc\qquad\cdots(2) \end{eqnarray*}$$

,

แทนค่า $a$ ด้วย $3b+c$ จากสมการ $(1)$ ลงด้านซ้ายของสมการ $(2)$, ย้ายตัวแปรทั้งหมดไปข้างเดียวกันของสมการ แล้วเขียนในรูปผลคูณ $(b+?)(c+?)$

$$\begin{eqnarray*} 2+a &=& bc\\ 2+(3b+c) &=& bc\\ 2+3b+c &=& bc\\ bc -3b-c &=& 2\\ (bc-3b) - c &=& 2\\ b(c-3) -(c) &=& 2\\ b(c-3) -(c-3) &=& 2+3\\ (b-1)(c-3) &=& 5\qquad\cdots(3) \end{eqnarray*}$$

จากสมการ $(3)$ และเนื่องจาก $b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกสามารถสรุปได้เป็น $2$ กรณี คือ

1. $(b-1)=1$ และ $(c-3)=5$
2. $(b-1)=5$ และ $(c-3)=1$

ส่วนกรณีที่ $(b-1)=-1$ และ $(c-3)=-5$ เป็นไปไม่ได้เพราะจะได้ $c$ มีค่าติดลบ (ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก) และอีกกรณีก็เป็นไปไม่ได้ด้วยเหตุผลในทำนองเดียวกัน

,

จะได้ $b=2$ และ $c=8$

แทนค่า $b=2$ กับ $c=8$ ลงในสมการ $(1)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a &=& 3b+c\\ &=& 3(2)+(8)\\ &=& 14 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $a=14$ กับ $b=2$ ลงใน (ก) จะได้

$$\begin{eqnarray*} a &=& b+d\\ b+d &=& a\\ d &=& a-b\\ &=& (14)-(2)\\ &=& 12 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นกรณีนี้ได้ค่า $a=14$, $b=2$, $c=8$ และ $d=12$

คำนวณค่า

$$\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2+d^2 &=& (14)^2+(2)^2 + (8)^2+(12)^2\\ &=& 196 + 4 + 64 + 144\\ &=& 408 \end{eqnarray*}$$

,

จะได้ $b=6$ และ $c=4$

แทนค่า $b=6$ กับ $c=4$ ลงในสมการ $(1)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a &=& 3b+c\\ &=& 3(6)+(4)\\ &=& 22 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $a=22$ กับ $b=6$ ลงใน (ก) จะได้

$$\begin{eqnarray*} d &=& a-b\\ &=& (22)-(6)\\ &=& 16 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นกรณีนี้ได้ค่า $a=22$, $b=6$, $c=4$ และ $d=16$

คำนวณค่า

$$\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2+d^2 &=& (22)^2+(6)^2 + (4)^2+(16)^2\\ &=& 484 + 36 + 16 + 256\\ &=& 792 \end{eqnarray*}$$

,

เนื่องจากค่าของ $a^2+b^2+c^2+d^2$ แบ่งเป็นเพียง $2$ กรณี คือ $408$ กับ $792$ ดังนั้น $M=792$ และ $m=408$ 

$$\begin{eqnarray*} M-m &=& 792 - 408\\ &=& 384 \end{eqnarray*}$$