,

จากข้อมูลที่โจทย์บอกว่าสามารถใช้ตัวเลขซ้ำได้ (บางครั้งถ้าโจทย์ไม่บอกว่าซ้ำได้หรือไม่ ก็ให้หมายความว่าซ้ำได้นะครับ) และเงื่อนไขของ $A+B=14$ กับ $C-D>D-E> E-F>0$ ไม่ได้มีความเกี่ยวข้องกันเลยระหว่างกลุ่ม $A,B$ กับกลุ่ม $C,D,E,F$ ดังนั้นสองกลุ่มนี้สามารถคำนวณแยกกันเป็น $2$ งานแล้วใช้กฎการคูณนำจำนวนวิธีของแต่ละกลุ่มมาคูณกันได้

พิจารณาเงื่อนไขของ $C,D,E,F$ เป็นรายตัว โดยเริ่มจากอสมการ $C-D>D-E> E-F>0$  เราจะพบว่าแต่ละผลต่างจะต้องมากกว่าศูนย์ด้วยกันทั้งนั้น

$$\begin{eqnarray*} C-D &>& 0\\ D-E &>& 0\\ E-F &>& 0 \end{eqnarray*}$$

เมื่อย้ายข้างตัวแปรที่ติดลบไปด้านขวาของอสมการทั้งสาม จะได้

$$\begin{eqnarray*} C &>& D\\ D &>& E\\ E &>& F \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้ลำดับความมากว่ากันของ $C,D,E$ และ $F$ จากการนำอสมการทั้งสามมาต่อกัน ดังนี้

$$C > D > E >F$$

,

จากสมการ $A+B=14$ และ $A,B\in\left\{ 1,2,3,\cdots, 9 \right\}$ เราจะต้องแบ่ง $A$ กับ $B$ ซึ่งที่ต้องบวกกันได้ $14$

เริ่มจาก $14$ แบ่งให้ $A$ มากที่สุดที่เป็นไปได้ ก็จะได้ 

$$A=9\text{ ซึ่งจะเหลือ }B=5 \text{ เพราะว่าต้องบวกกับ } 9 \text{ แล้วได้ }14$$

จากนั้นค่อยๆ ลด $A$ ลง จาก $9$ เหลือ $8$

$$A=8\text{ ซึ่งจะเหลือ }B=6$$

ลด $A$ ลง และเพิ่ม $B$ ขึ้นอีกครั้ง

$$A=7\text{ ซึ่งจะเหลือ }B=7$$

กรณีนี้จะได้ $A=B=7$ เท่ากัน แต่เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $A$ กับ $B$ ใครต้องมากกว่าใคร เราจึงสามารถลด $A$ และเพิ่ม $B$ ต่อไปได้เรื่อยๆ 

$$\begin{eqnarray*} A=9 &\text{จะเหลือ} & B=5\\ A=8 &\text{จะเหลือ} & B=6\\ A=7 &\text{จะเหลือ} & B=7\\ A=6 &\text{จะเหลือ} & B=8\\ A=5 &\text{จะเหลือ} & B=9\\ \cancel{A=4} &\text{จะเหลือ} & \cancelto{\text{เป็นไปไม่ได้}}{B=10} \end{eqnarray*}$$

เมื่อลด $A$ มาถึง $A=4$ จะเหลือ $B=10$ ซึ่งจะไม่เป็นไปตามเงื่อนไข $B\in \left\{ 1,2,3,\cdots ,9 \right\}$ แล้ว

ดังนั้นเราจึงได้จำนวนกรณีที่ $A$ กับ $B$ เป็นไปได้เพียงแค่ $5$ กรณีเท่านั้น

,

เราจะพิจารณา $C,D,E,F$ จากเงื่อนไข $C>D>E>F, C-D > D-E > E-F>0$ และ $C,D,E,F\in\left\{1,2,3,\cdots ,9\right\}$ โดยเราจะเขียน  $C,D,E,F$  และ $C-D , D-E , E-F$  ดังแผนภาพต่อไปนี้

โดยที่ตัวเลขสีฟ้าด้านบนเป็นผลต่างของตัวเลขในวงสีดำด้านล่างพอดี เช่น

จากแผนภาพข้างบนจะได้ว่า $CDEF=9875$ โดยมี $C-D = 1, D-E=1$ และ $E-F=2$ ซึ่งไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า $C-D>D-E$ ดังนั้นตัวเลขชุดในแผนภาพด้านบนนั้นใช้ไม่ได้

กรณีที่ 1
เราจะเริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดโดยที่ให้ $F$ ซึ่งเป็นตัวที่น้อยที่สุดเป็น $F=1$ แล้วใช้ผลต่าง $E-F$ น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ คือ $E-F=1$ ทำให้ $E$ ต้องมากกว่า $F$ อยู่ $1$ นั่นคือ $E=F+1=1+1=2$

จากนั้นค่อยๆ เพิ่มผลต่างชุดถัดมา คือ $D-E=2$ เพราะว่าจะเท่ากับ $1$ ไม่ได้ มิเช่นนั้นจะไปเท่ากันกับ $E-F$ ซึ่งถือว่า $D-E$ ไม่มากกว่า $E-F$ ตามข้อกำหนดของโจทย์ เมื่อ $D-E=2$ จะได้ $D=E+2=2+2=4$ และทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จะได้ชุดตัวเลขกรณีแรก คือ $CDEF=7421$ ตามลำดับ ดังแผนภาพ

จะเห็นว่า $C>D>E>F$ และ $C-D>D-E>E-F>0$ ตามเงื่อนไขที่ต้องการ

กรณีที่ 2-3
จากนั้นเราจะค่อยๆ เพิ่มค่าของ $C$ ขึ้นทีละ $1$ โดยวิธีนี้จะทำให้ผลต่างของ $C-D$ จะยังคงมากที่สุดในบรรดาผลต่างทั้งหมด ซึ่งจะสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เราต้องการ ก็จะได้มาอีก $2$ กรณีตามแผนภาพด้านล่างนี้

ซึ่งจะได้ $CDEF=8421$ และ $CDEF=9421$ ตามลำดับ

หากเราเพิ่ม $C$ ในลักษณะเดิมต่อไป จะทำให้ได้

ซึ่งไม่สามารถนำมาใช้ได้เพราะ $C=10\not\in\left\{1,2,3,\cdots,9\right\}$

กรณีที่ 4
เนื่องจากไม่สามารถเพิ่ม $C$ อีกต่อไปได้แล้ว แต่เราสามารถที่จะเพิ่ม $D$ ขึ้นจาก $4$ เป็น $D=5$ แทนได้ ดังแผนภาพ

ซึ่งจะได้ $CDEF=9521$ ตามลำดับ

กรณีที่ 5
ก่อนหน้านี้เราเริ่มที่ $F$ มีค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ คือ $F=1$ เราจะเริ่มเพิ่มค่าของ $F$ ขึ้นเป็น $F=2$ แล้วให้ผลต่าง $C-D>D-E>E-F$ มีค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ คือ $3>2>1$ ตามลำดับดังแผนภาพ

ซึ่งจะได้ $CDEF=8532$ ตามลำดับ

กรณีที่ 6
จากนั้นเราก็เพิ่มค่าของ $C$ ขึ้นเป็น $C=9$ เหมือนก่อนหน้านี้

ซึ่งจะได้ $CDEF=9532$ ตามลำดับ

กรณีที่ 7
ขั้นถัดไปเราไม่สามารถเพิ่ม $C$ ขึ้นได้อีกแล้ว และไม่สามารถเพิ่ม $D$ ขึ้นได้เช่นกัน ดังนั้นจึงเริ่มต้นเพิ่มค่า $F$ เป็น $F=3$

ซึ่งจะได้ $CDEF=9643$ ตามลำดับ

รวมทั้งหมดมี $CDEF$ ที่เป็นไปได้เพียง 7 กรณีเท่านั้น กรณีอื่นๆ ไม่ว่าจะเพิ่มลดตัวใด ก็จะไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขอีกแล้ว โดย $CDEF$ ที่เป็นไปได้เรียงตามลำดับ มีดังนี้

• $7421$
• $8421$
• $9421$
• $9521$
• $8532$
• $9532$
• $9643$

,

อย่างที่กล่าวไปในขั้นตอนแรกว่า ความเป็นไปได้ของกลุ่ม $AB$ กับกลุ่ม $CDEF$ นั้นเป็นอิสระต่อกัน (ไม่ขึ้นต่อกันเลย) ดังนั้น จำนวน $ABCDEF$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงสามารถคำนวณโดยใช้กฎการคูณดังนี้

$$\begin{eqnarray*} n(ABCDEF) &=& n(AB) \times n(CDEF)\\ &=& 5\times 7\\ &=& 35 \end{eqnarray*}$$