,

โจทย์ กำหนด $f(3)=111$ และ 

$$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x\cdot f(x) - 333}{x-3}=2013$$

สิ่งที่โจทย์ต้องการ คือ แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x=3$ หรือ อนุพันธ์ของ $f(x)$ ที่จุด $x=3$ ที่เขียนแทนด้วย $f'(3)$ นั่นเอง โดยจากนิยามของอนุพันธ์ ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปลิมิตจะได้ว่าโจทย์ต้องการให้หาค่าของ

$$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3}$$

สิ่งที่ต้องระวังในข้อนี้คือ เราไม่สามารถนำ $3$ ไปแทนที่ $x$ ในสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ได้ เพราะว่าที่โจทย์ให้มาเป็นลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $3$ ไม่ใช่ค่า ณ.จุดที่ $x=3$

ดังนั้นเราจะต้องพยายามจัดรูปจากสิ่งที่โจทย์ให้มา ไปสู่สิ่งที่โจทย์ถามต่อไป

,

$$2013=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x\cdot f(x) - 333}{x-3}$$

เราต้องการให้เกิด $f(x)-f(3)$ แต่สิ่งที่เรามีคือ  $x\cdot f(x)$ 

ดังนั้นเราต้องบวกสิ่งที่เราต้องการเข้าไป เรามี $x\cdot f(x)$ เราก็ต้องบวกด้วย $-x\cdot f(3)$ เพื่อที่เมื่อดึงตัวร่วมแล้วเราจะได้ $f(x)-f(3)$ แต่เมื่อไหร่ก็ตามที่เราบวกอะไรเพิ่มเข้าไปในสมการเองจะต้องลบตัวนั้นออกด้วย

เริ่มต้นจากจับคู่พจน์หน้าสุดกับพจน์หลังสุดอยู่ด้วยกันแล้วดึงตัวร่วม $x$ ออก ส่วนคู่ที่เหลือแทนค่า $f(3)=111$ แล้วดึงตัวร่วมออกเช่นเดียวกัน

$$\begin{eqnarray*} 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x\cdot f(x) - 333-x\cdot f(3)+x\cdot f(3)}{x-3}\\ 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x\cdot f(x)-x\cdot f(3))+(x\cdot f(3) - 333)}{x-3}\\ 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x(f(x)-f(3)) +(111x- 333)}{x-3}\\ 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x(f(x)-f(3)) +111(x-3)}{x-3}\\ \end{eqnarray*}$$

จากนั้นแยกลิมิตเป็นสองส่วน คือ คู่หน้ากับคู่หลัง

$$\begin{eqnarray*} 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3}\left( \frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}+\frac{111(x-3)}{x-3}\right)\\ 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}+\lim_{x\rightarrow 3}\frac{111(x-3)}{x-3}\\ \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าลิมิตพจน์หลังสามารถตัด $x-3$ ออกแล้วคำนวณลิมิตด้วยการแทนค่าได้

$$\begin{eqnarray*} 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}+\lim_{x\rightarrow 3}111\\ 2013&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}+111\\ 2013 - 111&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}\\ 1902&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}\\ \end{eqnarray*}$$

แยกลิมิตเป็นผลคูณสองส่วนอีกครั้ง โดยครั้งนี้แยก $x$ ที่คูณอยู่ตรงตัวเศษออกเนื่องจากที่เหลือตรงกับนิยามอนุพันธ์ในรูปลิมิตแล้ว

$$\begin{eqnarray*} 1902&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(f(x)-f(3))}{x-3}\\ 1902&=&\lim_{x\rightarrow 3}\left[x\cdot \frac{(f(x)-f(3))}{x-3}\right]\\ \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าลิมิตพจน์หน้าสามารถคำนวณโดยใช้การแทนค่า $x=3$ ลงไปได้เลย จากนั้นย้าย $3$ ไปหารอีกข้างของสมการ

$$\begin{eqnarray*} 1902&=&\lim_{x\rightarrow 3}x\cdot\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(f(x)-f(3))}{x-3}\\ 1902&=&3\cdot \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(f(x)-f(3))}{x-3}\\ \frac{1902}{3}&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(f(x)-f(3))}{x-3}\\ 634&=&\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(f(x)-f(3))}{x-3} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าลิมิตด้านบนซึ่งก็คือ $f'(3)$ มีค่าเท่ากับ $634$