กำหนดให้ $A$ แทนเซตคำตอบของสมการ $\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) = x+\log_65$ และ

$B$ แทนเซตคำตอบของสมการ $x+\sqrt{1-x^2} = 1+2x\sqrt{1-x^2}$

จำนวนสมาชิกของเซต $A\cup{B}$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาสมาชิกในเซต $A$[/STEP]

หาสมาชิกในเซต $A$ โดยการหาคำตอบของสมการ

$$\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) = x+\log_65$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& x+\log_65\\
\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& x\log_66+\log_65\\
\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& \log_66^x+\log_65\\
\log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& \log_6{6^x\cdot5}\\
3\cdot 4^x +2\cdot 9^x &=& 5\cdot6^x\\
3\cdot2^{2x}+2\cdot3^{2x}&=&5\cdot2^x\cdot3^x\\
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบน กำหนดให้

\begin{eqnarray*}
a&=&2^x\\
b&=&3^x
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
3a^2+2b^2&=&5ab\\
3a^2-5ab+2b^2&=&0\\
(3a-2b)(a-b)&=&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$3a-2b=0\quad\text{หรือ}\quad a-b=0$$

กรณี $3a-2b=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3a-2b&=&0\\
3\cdot2^x-2\cdot3^x&=&0\\
3\cdot2^x&=&2\cdot3^x\\
2^{x-1}&=&3^{x-1}\\
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบน ฐานไม่เท่ากัน ทั้งสองข้างจะเท่ากันได้เมื่อเลขยกกำลังจะต้องเป็น $0$ เท่านั้น ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x-1&=&0\\
x&=&1
\end{eqnarray*}

กรณี $a-b=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a-b&=&0\\
2^x-3^x&=&0\\
2^x&=&3^x
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบน ฐานไม่เท่ากัน เลขยกกำลังของทั้งสองข้างจะต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้น

$$x=0$$

จากนั้นนำค่าของ $x$ ที่ได้จากทั้งสองกรณีไปตรวจคำตอบ จะได้ว่าทั้งสองค่าเป็นคำตอบ จึงสรุปได้ว่า

$$A=\{0,1\}$$

[STEP]หาสมาชิกในเซต $B$[/STEP]

จากสมการ

$$x+\sqrt{1-x^2} = 1+2x\sqrt{1-x^2}$$ 

สังเกตุ $1+2\sqrt{1-x^2}$ มีพจน์ที่คล้ายกับ $2\text{นล}$ คือหน้าเป็น $x$ และหลังเป็น $\sqrt{1-x^2}$

ลองกระจาย

\begin{eqnarray*}
(x+\sqrt{1-x^2})^2&=&x^2+2x\sqrt{1-x^2}+{1-x^2}\\
&=&1+2x\sqrt{1-x^2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x+\sqrt{1-x^2} &=&1+2x\sqrt{1-x^2}\\
x+\sqrt{1-x^2}&=&\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2\\
\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2-\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)&=&0\\
\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(x+\sqrt{1-x^2}-1\right)&=&0
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบนจะได้ว่า

$$x+\sqrt{1-x^2}=0\quad\text{หรือ}\quad x+\sqrt{1-x^2}-1=0$$

กรณี $x+\sqrt{1-x^2}=0$

จะได้

\begin{eqnarray*}
x+\sqrt{1-x^2}&=&0\\
\sqrt{1-x^2}&=&-x\\
1-x^2&=&x^2\\
2x^2&=&1\\
x^2&=&\frac12
x&=&\pm\frac{1}{\sqrt2}
\end{eqnarray*}

นำค่า $x$ ที่ได้จากกรณีนี้ไปตรวจคำตอบ ปรากฎว่า $x=\frac{1}{\sqrt2}$ ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ และ $x=-\frac{1}{\sqrt2}$ เป็นคำตอบของสมการนี้

กรณี $x+\sqrt{1-x^2}-1=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+\sqrt{1-x^2}-1&=&0\\
x+\sqrt{1-x^2}&=&1\\
\sqrt{1-x^2}&=&1-x\\
1-x^2&=&(1-x)^2\\
1-x^2&=&1-2x+x^2\\
2x^2-2x&=&0\\
2x(x-1)&=&0\\
x=0,1
\end{eqnarray*}

นำคำตอบที่ได้ในกรณีนี้ไปตรวจคำตอบจะได้ว่า $x=0$ และ $x=1$ เป็นคำตอบ

ดังนั้น

$$B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

[STEP]หาจำนวนสมาชิกของเซต $A\cup B$[/STEP]

จาก

$$A=\{0,1\}$$

และ

$$B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

จะได้ว่า

$$A\cup B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

ดังนั้น

$$n(A\cup B)=3$$

[ANS]$3$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการลอการิทึม การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2