กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ เป็นพหุนามกำลังสอง เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a\neq0$

ซึ่ง $f(1)=0$ และ $f$ มีค่าสูงสุดที่ $x=\frac13$

ให้ $F(\alpha,\beta)={\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ โดยที่ $F(0,t)=F(1,t)+1$ สำหรับจำนวนจริง $t>1$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $F(1,2)=F(2,3)+10$

(ข) อนุพันธ์ของ ${\displaystyle\frac{f(x)}{x^2}}$ คือ ${\displaystyle\frac{-3x^2-2x-2}{x^3}}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างระบบสมการในเทอมของตัวแปร $a,b,c$[/STEP]

จาก $f(1)=0$ แทนค่า $x=1$ ลงใน $f(x)=ax^2+bx+c$ และแทน $f(x)$ ด้วย $0$ จะได้

$$a+b+c=0\qquad\cdots(1)$$

จาก $f$ มีค่าสูงสุดที่ $x=\frac13$ ทำให้รู้ว่า $f'(\frac13)=0$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&2ax+b\\
f'\left(\frac13\right)&=&\frac23a+b\\
0&=&\frac23a+b\\
0&=&2a+3b\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

จากสมการ $F(0,t)=F(1,t)+1$ เปลี่ยนให้อยู่ในรูปอินทิกรัลตามกฎ $F(\alpha,\beta)={\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ ได้ดังนี้

$$\int_0^tf(x)dx = \int_1^tf(x)dx +1$$

เนื่องจากโจทย์กำหนดมาให้ว่า $t>1$ เราจึงสามารถแบ่งอินทิกรัล $\displaystyle\int_0^tf(x)dx$ ไปเป็นสองช่วงได้โดยแบ่งที่ $x=1$

\begin{eqnarray*}
\int_0^t f(x) dx &=& \int_1^t f(x) dx + 1\\
\int_0^1 f(x) dx + \int_1^t f(x) dx &=& \int_1^t f(x) dx +1\\
\int_0^1 f(x) dx + \cancel{\int_1^t f(x) dx} &=& \cancel{\int_1^t f(x) dx} +1\\
\int_0^1 f(x) dx &=& 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงสร้างสมการจาก $\int_0^1f(x)dx=1$ ได้ตามนี้

\begin{eqnarray*}
\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\left(ax^2+bx+c\right)dx\\
1&=&\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{x=0}^{x=1}\\
1&=&\frac{a}{3}+\frac{b}2+c\\
6&=&2a+3b+6c\qquad\cdots(3)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการหาค่า $a,b$ และ $c$[/STEP]

จาก

\begin{array}{rclr}
a+b+c&=&0&\qquad\cdots(1)\\
2a+3b&=&0&\qquad\cdots(2)\\
2a+3b+6c&=&6&\qquad\cdots(3)
\end{array}

จากสมการ $(2)$ และสมการ $(3)$ เมื่อจับลบกันจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
0+6c&=&6\\
c&=&1\\
\end{eqnarray*}

นำ $c=1$ แทนในสมการ $(1)$ จะได้

$$a+b=-1\qquad\cdots(4)$$

จะเห็นว่าสมการ $(2)$ และ $(4)$ มีตัวแปรชุดเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
2a+3b&=&0&\qquad\cdots(2)\\
a+b&=&-1&\qquad\cdots(4)\\
\end{eqnarray*}

เราจึงนำ $-2$ ไปคูณสมการ $(4)$

\begin{eqnarray*}
2a+3b &=& 0&\qquad\cdots(2)\\
-2a-2b &=& 2&\qquad\cdots2\times(4)
\end{eqnarray*}

จับสองสมการนี้บวกกันจะได้ $b=2$

นำ $b=2$ แทนใน $a+b=-1\qquad\cdots(4)$ จะได้ $a=-3$

ดังนั้นเราจึงทราบค่าคงตัวทั้งหมดของฟังก์ชัน $f(x)=-3x^2+2x+1$

[STEP]พิจารณาข้อความ (ก)[/STEP]

แทนค่า $f(x) = -3x^2+2x+1$ ใน $F(1,2)$ แล้วอินทิเกรตจะได้

\begin{eqnarray*}
F(1,2)&=&\int_1^2f(x)dx\\
&=&\int_1^2\left(-3x^2+2x+1\right)dx\\
&=&\left[-x^3+x^2+x\right]_{x=1}^{x=2}\\
\end{eqnarray*}

แทนค่าแล้วคำนวณจะได้

\begin{eqnarray*}
F(1,2) &=&(-8+4+2)-(-1+1+1)\\
&=&-2-1\\
&=&-3
\end{eqnarray*}

ทำนองเดียวกัน แทนค่า $f(x) = -3x^2+2x+1$ ลงใน $F(2,3)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
F(2,3)&=&\int_2^3f(x)dx\\
&=&\int_2^3\left(-3x^2+2x+1\right)dx\\
&=&\left[-x^3+x^2+x\right]_{x=2}^{x=3}\\
&=&\left[(-27+9+3)-(-8+4+2)\right]\\
&=&(-15+2)\\
&=&-13
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า $F(1,2)=-3$ และ $F(2,3)=-13$ ลงในสมการ $F(1,2)=F(2,3) +10$ ในข้อความ ก.ไก่แล้วพบว่าเป็นจริง

ดังนั้นข้อความ (ก) ถูก

[STEP]พิจารณาข้อความ (ข)[/STEP]

แทนค่า $f(x)=-3x^2+2x+1$ เพื่อดิฟ $\dfrac{f(x)}{x^2}$ โดยเราจะใช้สัญลักษณ์ $'$ ย่อการดิฟเพื่อความสะดวก

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{f(x)}{x^2}\right)'&=&\left(\frac{-3x^2+2x+1}{x^2}\right)'\\
&=&\left(-3+2x^{-1}+x^{-2}\right)'\\
&=&0+2(-1)x^{-2}-2x^{-3}\\
&=&-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\\
&=&\frac{-2x-2}{x^3}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าผลที่ได้ไม่ตรงกับที่ข้อความ ข.ไข่กล่าวไว้ ดังนั้นข้อความ (ข) กล่าวผิด

[ANS] (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต การหาค่าคงตัวจากโจทย์ปัญหาอนุพันธ์ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์