,

พิจารณาจากคำตอบทั้ง $5$ ตัวเลือก จะเห็นว่าทุกตัวเลือกมี $2$ ส่วน คือส่วนที่เป็นจำนวนเต็มบวก และส่วนที่ติดสแควร์รูท

เราสมมุติให้ $$x+y = \sqrt{84+18\sqrt{3}}$$

โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (ติดสแควร์รูท)

,

จาก  $$x+y = \sqrt{84+18\sqrt{3}}$$

เรายกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

$$\begin{eqnarray*} (x+y)^2 &=& \left( \sqrt{84+18\sqrt{3}} \right)^2\\ x^2 + 2xy + y^2 &=& 84 + 18 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$$

,

เราจัดรูป โดยนำ $x^2$ และ $y^2$ มาไว้เป็นกลุ่มเดียวกัน ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} (x^2 + y^2) + 2xy &=& 84 + 18 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$$

เหตุผลที่จัดแบบนี้เพราะว่าเรากำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า $x^2$ ก็เป็นจำนวนเต็ม

และเรากำหนดให้ $y$ เป็นจำนวนที่ติดสแควร์รูท แสดงว่า $y^2$ นั้นมีค่าเป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งเมื่อนำมาบวกกัน จะได้ว่า $x^2 + y^2$ ก็เป็นจำนวนเต็ม

แต่ส่วน $2xy$ นั้น ยังคงติดสแควร์รูทอยู่

ซึ่งเรานำมาเปรียบเทียบค่ากับฝั่งขวามือ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 &=& 84 &----& (1)\\ 2xy &=& 18 \sqrt{3} &----& (2) \end{eqnarray*}$$

,

จากสมการ $(2)$ เราจัดรูป

$$\begin{eqnarray*} 2xy &=& 18 \sqrt{3}\\ y &=& \frac{\cancelto{9}{18} \sqrt{3}}{\cancel{2}x}\\ y &=& \frac{9 \sqrt{3}}{x} \end{eqnarray*}$$

แทนค่าในสมการ $(1)$

$$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 &=& 84\\ x^2 + \left( \frac{9 \sqrt{3}}{x} \right)^2 &=& 84\\ x^2 + \frac{81(3)}{x^2} &=& 84 \end{eqnarray*}$$

คูณตลอดด้วย $x^2$ เพื่อกำจัดตัวส่วน

$$\begin{eqnarray*} x^4 + 81(3) &=& 84x^2\\ x^4 - 84x^2 + 81(3) &=& 0\\ (x^2 - 81)(x^2 - 3) &=& 0 \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่า

$x^2 = 81$ หรือ $x^2 = 3$

แต่เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า

$$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 81\\ x &=& 9 \end{eqnarray*}$$

แทนค่าหา $y$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} y &=& \frac{9\sqrt{3}}{x} \\ &=& \frac{9\sqrt{3}}{9}\\ &=& \sqrt{3} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $$x+y = 9 + \sqrt{3}$$