[STEP]แทนค่าเพื่อหา $a_n$[/STEP]

โจทย์ต้องการ $A_6$ ซึ่ง $$A_6 = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$

เราแทนค่า $n = 2, 3, 4, 5, 6$ ลงใน $a_n$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_2 &=& 2^{2-2} \left( \frac13 \right)^2 &=& \frac19\\
a_3 &=& 2^{3-2} \left( \frac13 \right)^3 &=& \frac{2}{27}\\
a_4 &=& 2^{4-2} \left( \frac13 \right)^4 &=& \frac{4}{81}\\
a_5 &=& 2^{5-2} \left( \frac13 \right)^5 &=& \frac{8}{243}\\
a_6 &=& 2^{6-2} \left( \frac13 \right)^6 &=& \frac{16}{729}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลบวก $729A_6$[/STEP]

จาก $$729 A_6 = 729 (a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
729A_6 &=& 729 \left( \frac19 + \frac{2}{27} + \frac{4}{81} + \frac{8}{243} + \frac{16}{729} \right)\\
&=& 729 \left( \frac19 \right) + 729 \left( \frac{2}{27} \right) + 729 \left( \frac{4}{81} \right) + 729 \left( \frac{8}{243} \right) + 729 \left( \frac{16}{729} \right)\\
&=& \cancelto{81}{729} \left( \frac{1}{\cancel{9}} \right) + \cancelto{27}{729} \left( \frac{2}{\cancel{27}} \right) + \cancelto{9}{729} \left( \frac{4}{\cancel{81}} \right) + \cancelto{3}{729} \left( \frac{8}{\cancel{243}} \right) + \cancel{729} \left( \frac{16}{\cancel{729}} \right)\\
&=& 81 + 54 + 36 + 24 + 16
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ว่า $$729 A_6 = 211$$

[ANS]$211$[/ANS]