กำหนดให้ $a, ar, ar^2 , ..., ar^{n-1}$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $n$ พจน์ ซึ่งผลรวมของ $3$ พจน์สุดท้ายเป็น $4$ เท่าของผลรวมของ $3$ พจน์แรก

ถ้าพจน์ที่ $3$ คือ $22$ แล้ว พจน์สุดท้ายมีค่าเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาผลรวมของ $3$ พจน์แรก กับ $3$ พจน์สุดท้าย[/STEP]

$3$ พจน์แรก คือ $a, ar, ar^2$ ส่วน $3$ พจน์สุดท้าย คือ $ar^{n-3}, ar^{n-2} , ar^{n-1}$

โจทย์กำหนดให้ผลรวมของ $3$ พจน์สุดท้ายเป็น $4$ เท่าของผลรวมของ $3$ พจน์แรก จะได้

\begin{eqnarray*}
ar^{n-3} + ar^{n-2}  + ar^{n-1} &=& 4 (a + ar + ar^2) &&\\
ar^{n-1} (r^{-2} + r^{-1} + 1) &=& 4a (1 + r + r^2) &&\\
\cancel{a} r^{n-1} \left( \frac{1}{r^2} + \frac1r + 1 \right) &=& 4 \cancel{a} (1 + r + r^2) &----& (1)
\end{eqnarray*}

เราจัดรูป

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{r^2} + \frac1r + 1 &=& \frac{1}{r^2} + \frac1r \cdot \frac{r}{r} + 1 \cdot \frac{r^2}{r^2}\\
&=& \frac{1}{r^2} + \frac{r}{r^2} + \frac{r^2}{r^2}\\
&=& \frac{1 + r + r^2}{r^2}
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
r^{n-1} \left( \frac{1 + r + r^2}{r^2} \right) &=& 4 (1 + r + r^2)\\
r^{n-1} \left( \frac{\cancel{1 + r + r^2}}{r^2} \right) &=& 4 (\cancel{1 + r + r^2})\\
r^{n-1} &=& 4r^2
\end{eqnarray*} 

[STEP]พิจารณาพจ์ที่ $3$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้พจน์ที่ $3$ เท่ากับ $22$

ซึ่งพจน์ที่ $3$ คือ $ar^2$ ดังนั้น $$ar^2 = 22$$

จากขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่า $$r^{n-1} = 4r^2$$

เราคูณด้วย $a$ ทั้งสองข้างของสมการ จะได้ $$ar^{n-1} = 4ar^2$$

ซึ่ง $ar^{n-1}$ คือพจน์สุดท้าย ส่วน $ar^2$ คือพจน์ที่ $3$

ดังนั้น

$$\text{พจน์สุดท้าย} = 4 (22) = 88$$

[ANS]$88$[/ANS]