พจน์ที่ $8$ ของลำดับ

$$\displaystyle \frac45 , \frac89 , \frac{16}{13} , \frac{32}{17} , \frac{64}{21} , ...$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาลำดับ[/STEP]

จะเห็นว่าลำดับในข้อนี้มี $2$ ส่วน คือตัวเศษเป็นลำดับเรขาคณิต $4, 8, 16, ...$

และตัวส่วนเป็นลำดับเลขคณิต $5, 9, 13, ...$

เราจึงแยกคิดเพื่อหาพจน์ที่ $8$

[STEP]หาพจน์ที่ $8$ ของลำดับตัวเศษ[/STEP]

จากลำดับ $4, 8, 16, ...$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $a_1 = 4$ และ $r = 2$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_8 &=& a_1 r^7\\
&=& 4 (2^7)\\
&=& 4 (128)\\
&=& 512
\end{eqnarray*}

[STEP]หาพจน์ที่ $8$ ของลำดับตัวส่วน[/STEP]

จากลำดับ $5, 9, 13, ...$ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี $a_1 = 5$ และ $d = 4$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_8 &=& a_ 1 + 7d\\
&=& 5 + 7(4)\\
&=& 5 + 28\\
&=& 33
\end{eqnarray*}

[STEP]หาพจน์ที่ $8$ ของลำดับในโจทย์[/STEP]

เมื่อนำพจน์ที่ $8$ ของตัวเศษและตัวส่วนมาประกอบเข้าด้วยกัน จะได้ว่าพจน์ที่ $8$ ของลำดับในโจทย์คือ $$\dfrac{512}{33}$$

[ANS]$\dfrac{512}{33}$[/ANS]