กำหนดให้ $a, b, c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $A$[/STEP]

จริงๆ ข้อนี้เราตอบผิดได้เลย เพราะถ้ามี $a$ หรือ $b$ เป็น $0$ แล้ว กลับเศษส่วนเป็น $\dfrac1a$ กับ $\dfrac1b$ ก็จะเป็นไปไม่ได้ทันที

แต่ถ้าไม่พูดถึงกรณีที่เป็น $0$ เราจะใช้วิธียกตัวอย่างค้านง่ายๆ คือให้ตัวนึงเป็นลบและอีกตัวเป็นบวก

เช่น ให้ $a = -1$ และ $b = 1$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a &<& b \\
-1 &<& 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง แต่

\begin{eqnarray*}
\frac1a &>& \frac1b\\
\frac{1}{-1} &>& \frac11\\
-1 &>& 1
\end{eqnarray*}

ไม่เป็นจริง ดังนั้น ตัวเลือก $A$ ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $B$[/STEP]

ข้อนี้จะไม่เป็นจริงในกรณีที่ทั้ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนบวกหรือ $0$ เท่านั้น

เราจึงใช้วิธียกตัวอย่างค้านเช่นเดิม ให้ $a = -2$ และ $b = -1$

\begin{eqnarray*}
-2 &<& -1\\
(-2)^2 &<& (-1)^2\\
4 &<& 1
\end{eqnarray*}

ไม่เป็นจริง ดังนั้น ตัวเลือก $B$ ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $C$[/STEP]

ข้อนี้ก็จะมีปัญหาในกรณีที่มีจำนวนลบ เราจึงใช้วิธียกตัวอย่างค้านเหมือนเดิม

เช่น ให้ $a = 1, b = 2$ และ $c = -2, d = -1$

ซึ่ง

\begin{eqnarray*}
a &<& b\\
1 &<& 2
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
c &<& d\\
-2 &<& -1
\end{eqnarray*}

จริง แต่

\begin{eqnarray*}
ac &<& bd\\
(1)(-2) &<& (2)(-1)\\
-2 &<& -2
\end{eqnarray*}

ไม่เป็นจริง ดังนั้น ตัวเลือก $C$ ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $D$[/STEP]

ข้อนี้ถูกต้องตามนิยามของค่าสัมบูรณ์เลยครับ นั่นก็คือ

\begin{eqnarray*}
\sqrt{x^2} &=& |x|
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sqrt{(a+b)^2} &=& |a+b|
\end{eqnarray*}

ถูกต้อง ดังนั้น ตัวเลือก $D$ เป็นจริง

[STEP]พิจารณาตัวเลือก $E$[/STEP]

สำหรับค่าสัมบูรณ์นั้นสามารถแยกได้เฉพาะการคูณและการหารเท่านั้น แต่บวกและลบไม่สามารถแยกได้

ยกตัวอย่างค้าน เช่น ให้ $a = 1$ และ $b = -1$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
|1 + (-1)| &=& |1| + |-1|\\
|0| &=& 1 + 1\\
0 &=& 2
\end{eqnarray*}

ไม่เป็นจริง ดังนั้น ตัวเลือก $E$ ไม่ถูกต้อง

[ANS]$\sqrt{(a+b)^2} = |a+b|$[/ANS]

การพิจารณาอสมการทำได้ง่ายมาก เพียงแค่ลองเอาจำนวนลบมาแทนค่าเพื่อยกตัวอย่างค้านให้ได้เท่านั้น ส่วนใหญ่จะผิดในกรณีที่มีการคูณและการยกกำลัง