กำหนดให้วงกลมวงเล็กและวงใหญ่มีรัศมี $a$ หน่วย และ $b$ หน่วย ตามลำดับ

ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมทั้งสองเส้นทำมุม $60^o$ ดังรูป

แล้ว อัตราส่วน $a : b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณารูปภาพ[/STEP]

เราจะพิจารณารูปเพียงครึ่งเดียวคือ

จะเห็นว่ามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ $2$ รูป สามารถใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติได้

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABD$[/STEP]

ใช้อัตราส่วน $\sin 30^o$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sin 30^o &=& \frac{BD}{AD}\\
\frac12 &=& \frac{a}{AD}\\
AD &=& 2a
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ACE$[/STEP]

ใช้อัตราส่วน $\sin 30^o$ เช่นกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\sin 30^o &=& \frac{CE}{AE}\\
\frac12 &=& \frac{b}{AE}\\
AE &=& 2b
\end{eqnarray*}

[STEP]สร้างสมการ[/STEP]

เรามีความยาว $AD$ และ $AE$ จึงสร้างเป็นสมการว่า

$$AE = AD + DE$$

เมื่อพิจารณาความยาว $DE$ ดังรูป

จะเห็นว่า ความยาว $DE = a + b$ นั่นเอง

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
AE &=& AD + DE\\
2b &=& 2a + (a+b)\\
b &=& 3a\\
\frac13 &=& \frac{a}{b}
\end{eqnarray*}

อัตราส่วน $a : b = 1 : 3$

[ANS]$1 : 3$[/ANS]