ถ้า $x+y = 1$ แล้ว ค่าต่ำสุดของ $x^2 + 2y^2$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $y$ แล้วแทนค่า[/STEP]

จาก $$x+y = 1$$ จะได้ $$y = 1 - x$$

แทนค่าใน $x^2 + 2y^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x^2 + 2y^2 &=& x^2 + 2 (1 - x)^2\\
&=& x^2 + 2 (1 - 2x + x^2)\\
&=& x^2 + 2 - 4x + 2x^2\\
&=& 3x^2 - 4x + 2
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์[/STEP]

เราจะจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

\begin{eqnarray*}
3x^2 - 4x + 2 &=& \left[ \left( \sqrt{3} x \right)^2 - 2 (\sqrt{3}x) \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 \right] + 2 - \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2\\
&=& \left( \sqrt{3}x - \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2 - \frac43\\
&=& \left( \sqrt{3}x - \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + \frac23
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $\displaystyle \left( \sqrt{3}x - \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 \geq 0$ เพราะจำนวนจริงที่ยกกำลังสองจะไม่ติดลบ

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
3x^2 - 4x + 2 &\geq& 0 + \frac23\\
3x^2 - 4x + 2 &\geq& \frac23
\end{eqnarray*}

ค่าต่ำสุดจึงเท่ากับ $\dfrac23$

[ANS]$\dfrac23$[/ANS]