กำหนดให้ $S_n$ เป็นผลบวก $n$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $a_1,a_2,a_3,\cdots$  ถ้า $S_6=195$ และ $S_{12}=-6$ แล้ว $a_{13}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนสมการจาก $S_6$ และ $S_{12}$[/STEP]

สมมุติให้ $a$ แทน $a_1$ และ $d$ แทนผลต่างร่วม จาก $S_6=195$ ได้

\begin{eqnarray*}
S_{6} & = & a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{6}\\
195 & = & a+\left(a+d\right)+\left(a+2d\right)+\cdots+\left(a+5d\right)\\
195 & = & 6a+\left(d+2d+3d+4d+5d\right)\\
195 & = & 6a+15d\qquad\cdots\left(1\right)
\end{eqnarray*}

จาก $S_{12}=-6$ ได้

\begin{eqnarray*}
S_{12} & = & a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{12}\\
-6 & = & a+\left(a+d\right)+\left(a+2d\right)+\cdots+\left(a+11d\right)\\
-6 & = & 12a+\left(d+2d+3d+\cdots11d\right)\\
-6 & = & 12a+66d\qquad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการหา $a_1$ และ $d$[/STEP]

จากระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
6a+15d & = &  195\qquad\cdots\left(1\right)\\
12a+66d & = & -6 \qquad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

คูณ 2 ตลอดสมการที่ (1) 

\begin{eqnarray*}
2\times6a +2\times15d & = & 2\times195\\
12a +30d & = & 390\quad\cdots\left(3\right) 
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2)-(3):$

\begin{eqnarray*}
12a-12a+66d-30d & = & -6-390\\
36d & = & -396\\
d & = & -\frac{396}{36}\\
d & = & -11
\end{eqnarray*}

แทนค่า $d=-11$ ลงใน $(1):$

\begin{eqnarray*}
12a+66\left(-11\right) & = & -6\\
12a-726 & = & -6\\
12a & = & -6+726\\
12a & = & 720\\
a & = & \frac{720}{12}\\
a & = & 60
\end{eqnarray*}

จะได้ $a_1=a=60$ และ $d=-11$

[STEP]หา $a_{13}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_{13} & = & a_{1}+12d\\
& = & \left(60\right)+12\left(-11\right)\\
& = & 60-132\\
& = & -72
\end{eqnarray*}

[ANS]$a_{13}=-72$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต