[STEP]ใช้สูตรเปลี่ยนฐานล็อกและแยกตัวประกอบ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\log_{10}ab\right)\left(\log_{a}10b\right)\left(\log_{b}10a\right) & = & 0\\
\left(\frac{\log a+\log b}{\log10}\right)\left(\frac{\log 10b}{\log a}\right)\left(\frac{\log 10a}{\log b}\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

แบ่งเป็น $3$ กรณี

[STEP]กรณี $\log a +\log b =0$[/STEP]

หรือ $a=\frac{1}{b}$
แทนค่าลงในส่วนที่โจทย์ถาม

\begin{eqnarray*}
\left(\log_{10}1\right)+\left(\log_{\frac{1}{b}}10b\right)+\left(\log_{b}\frac{10}{b}\right) & = & 0-\log_{b}10-\log_{b}b+\log_{b}10-\log_{b}b\\
& = & -2
\end{eqnarray*}

[STEP]กรณี $\log_a10b = 0$[/STEP]

หรือ $b=\frac1{10}$
แทนค่าลงในส่วนที่โจทย์ถาม 

\begin{eqnarray*}
\left(\log_{10}\frac{a}{10}\right)+\left(\log_{a}1\right)+\left(\log_{\frac{1}{10}}10a\right) & = & \left(\log a-1\right)+0-\left(1+\log a\right)\\
& = & -2
\end{eqnarray*}

[STEP]กรณี $\log_b10a = 0$[/STEP]

หรือ $a=\frac1{10}$
ซึ่งจะได้ $-2$ เหมือนกับกรณีด้านบน

จะได้ว่า ไม่ว่าจะกรณีไหน คำตอบก็ยังคงเท่ากับ $-2$ อยู่ดี จึงตอบ $-2$ 

[ANS]$-2$[/ANS]