กำหนดให้ $x^{2011}-ax+3$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษ $r(x)$ ถ้า $r(2)=-3$ จงหาค่า $a$

เฉลยละเอียด

[STEP]เขีียนในรูปผลหาร[/STEP]

เนื่องจากตัวหาร $x^2-1$ มีดีกรี $2$ จึงทำให้เศษ $r(x)$ มีดีกรีไม่เกิน $1$

สมมุติให้ $r(x)=bx+c$ โดยที่ $b,c\in R$

เขียน $x^{2011}-ax+3$ ให้อยู่ในรูปผลหารที่หารด้วย $x^2-1=(x-1)(x+1)$ โดยสมมุติให้ผลหาร คือ $q(x)$

$$x^{2011}-ax+3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(bx+c\right)\quad\cdots\left(1\right)$$

[STEP]แทน $x=1$, $x=-1$ ในสมการผลหาร[/STEP]

แทน $x=1$ ใน $(1):$

\begin{eqnarray*}
\left(1\right)^{2011}-a\left(1\right)+3 & = & 0+\left(b+c\right)\\
a+b+c & = & 4\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

แทน $x=-1$ ใน $(1):$

\begin{eqnarray*} \left(-1\right)^{2011}-a\left(-1\right)+3 & = & 0+\left(-b+c\right)\\
a+b-c & = & -2\quad\cdots\left(3\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการที่ได้รวมกับ $r(2)=-3$[/STEP]

จาก $r(2)=-3$ จะได้

$$2b+c=-3\quad\cdots(4)$$

แก้ระบบสมการ $(2),(3)$ และ $(4)$ ได้ $c=3$, $b=-3$ และ $a=4$

[ANS]$a=4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ทฤษฎีเศษเหลือ