จงหาค่าของ $\det\left(\operatorname{adj}\left(\operatorname{adj}A\right)\right)$ ถ้า $A=\left(0.5I_3\right)^{-1}$ โดยที่ $I_3$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $3\times 3$

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณหา $\det A$ จากสมการที่โจทย์ให้มา[/STEP]

\begin{eqnarray*} A & = & \left(0.5I_{3}\right)^{-1}\\ 
\det A & = & \det\left[\left(0.5I_{3}\right)^{-1}\right]\\
& = & \frac{1}{\det\left(0.5I_{3}\right)}\\ & = & \frac{1}{\left(0.5\right)^{3}\det I}\\
& = & \frac{1}{\left(0.5\right)^{3}\left(1\right)}\\ & = & 8
\end{eqnarray*}

[STEP]ให้ $B=\operatorname{adj}A$ คำนวณ $\det B$ โดยใช้สูตร $\det$ ของ $\operatorname{adj}$[/STEP]

$$\det{\operatorname{adj}A}=\left(\det A\right)^{n-1}$$

\begin{eqnarray*}
\det B & = & \det\left(\operatorname{adj}A\right)\\
& = & \left(\det A\right)^{3-1}\\
& = & \left(\det A\right)^{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $det\left(\operatorname{adj}B\right)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\det\left(\operatorname{adj}\left(\operatorname{adj}A\right)\right) & = & \det\left(\operatorname{adj}B\right)\\
& = & \left(\det B\right)^{3-1}\\ & = & \left[\det B\right]^{2}\\
& = & \left[\left(\det A\right)^{2}\right]^{2}\\ & = & \left[\det A\right]^{4}\\
& = & 8^4
\end{eqnarray*}

[ANS]$\det\left(\operatorname{adj}\left(\operatorname{adj}A\right)\right) = 8^4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์ของแอดจอยท์ ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์