กำหนดให้ $$f\left(x\right)=\dfrac{9^{x}-3^{-2x}}{9^{x}+3^{-2x}}$$ จงหา $$\left(f^{-1}f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$$

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สมบัติอินเวอร์สฟังก์ชันจัดรูปสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

$$f^{-1}\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=f^{-1}(x)$$

ดังนั้นโจทย์ถามหาอินเวอร์สของ $f(x)$ 

[STEP]หา $f^{-1}(x)$ โดยสลับตัวแปร แล้วจัด $3^{4y}$ ในเทอม $x$[/STEP]

เปลี่ยน $f(x)$ เป็น $y$ แล้วสลับกับตัวแปร $x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x & = & \dfrac{9^{y}-3^{-2y}}{9^{y}-3^{-2y}}\\
x & = & \frac{3^{2y}-3^{-2y}}{3^{2y}+3^{-2y}}
\end{eqnarray*}

จากนั้นคูณไขว้ได้

\begin{eqnarray*}
x\left(3^{2y}+3^{-2y}\right) & = & 3^{2y}-3^{-2y}\\
3^{2y}x+3^{-2y} & = & 3^{2y}-3^{-2y}\\
3^{2y}x-3^{-2y}x & = & -3^{-2y}-3^{-2y}x\\
3^{2y}\left(x-1\right) & = & -3^{-2y}\left(x+1\right)\\
\frac{3^{2y}}{-3^{-2y}} & = & \frac{x+1}{x-1}
\end{eqnarray*}

จัดรูปได้

$$3^{4y}=\frac{x+1}{x-1}$$

[STEP]take $\log _3 $ทั้ง 2 ข้าง[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\log_{3}3^{4y} & = & \log_{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\\
4y & = & \log_{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\\
y & = & \frac{1}{4}\log_{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\\
& = & \log_{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{4}}\\
& = & \log_{3}\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}
\end{eqnarray*}

[ANS]$f^{-1}(x)=\log_{3}\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชัน