กำหนดให้ $C$ เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และ $P$ แทนพาราโบลาหงายที่มีสมการเป็น $y-kx^2+1=0$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริง

จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $P$ เป็นพาราโบลาที่แคบที่สุดที่ตัดกับ $C$ เพียงจุดเดียว

เฉลยละเอียด

[STEP]แทน $x^2=\frac{y+1}{k}$ ลงในสมการวงกลม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{y+1}{k}\right)+y^{2} & = & 1\\
y^{2}+\left(\frac{1}{k}\right)y+\left(\frac{1}{k}-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา discriminant[/STEP]

ต้องการให้มีจุดตัดจุดเดียวหรือมีคำตอบเดียว ดังนั้นเราต้องการจุดที่มี discriminant เป็น 0 จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{1}{k}\right)^{2}-4\left(\frac{1}{k}-1\right) & = & 0\\
\left(\frac{1}{k}-2\right)^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$k = \dfrac12$[/ANS]

discriminant ของ $ax^2+bx+c=0$ คือ $b^2-4ac$ เป็นค่าที่เอาไว้บอกจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการพหุนามกำลังสอง โดยแบ่งเป็น $3$ กรณี คือ

$b^2-4ac<0$ สมการ $ax^2+bx+c=0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

$b^2-4ac=0$ สมการนี้มีคำตอบเดียวกันซ้ำ $2$ ครั้ง หรือบางทีอาจกล่าวว่ามีรากจริงเพียงค่าเดียว

$b^2-4ac>0$ สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงสองจำนวน

ความรู้ที่ใช้ : ตัวตัดสินราก การแก้ระบบสมการกำลังสอง