กราฟ $y=f(x)$ มีความชันที่จุด $(a,f(a))$ ใดๆ เป็น $2a-c$ โดยที่ $c$ เป็นจำนวนจริง

ถ้ากราฟนี้สัมผัสแกน $X$ ที่จุดต่ำสุดพอดี  โดย $f(x)$ มีค่าวิกฤตค่าเดียว คือ $3$  จงหา $f(0)$

เฉลยละเอียด

[STEP]รวบรวมเงื่อนไขสำหรับหาค่าคงตัว $c$[/STEP]

ความชันที่จุด $(a,f(a))$ ใดๆ เป็น $2a-c$ แสดงว่า $f'(x)=2x-c$

$f(x)$ มีค่าวิกฤตค่าเดียว ดังนั้นค่าวิกฤตนั้นต้องให้ค่าต่ำสุดที่มีความสูงเป็น $0$ เพราะมีจุดต่ำสุดที่สัมผัสแกน $X$ พอดี ดังนั้น $f'(3)=0$ และ $f(3)=0$

[STEP]หาค่าคงตัว $c$ โดยแทนค่า $x=3$ ลงใน $f'(x)$[/STEP]

จาก $f'(3)=0$ จะได้ $2(3)-c=0$ ดังนั้น $c=6$

[STEP]อินทิเกรตเพื่อหา $f(x)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \int f'\left(x\right)dx\\
& = & \int\left(2x-6\right)dx\\
& = & x^{2}-6x+k
\end{eqnarray*}

โดยค่าคงตัว $k\in R$

[STEP]แทนค่า $x=3$ ใน $f(x)$ เพื่อหาค่า $k$[/STEP]

$f(0) = k$ ดังนั้นโจทย์ถาม $k$

หาค่า $k$ โดยใช้ $f(3)=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & 0\\
\left(3\right)^{2}-6\left(3\right)+k & = & 0\\
k & = & 9
\end{eqnarray*}

[ANS]$9$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สมการเชิงอนุพันธ์ ค่าสูงสุดต่ำสุด การวาดกราฟโดยใช้อนุพันธ์