กำหนดให้ประพจน์ $p$ คือ $\exists x\left[x^2<2x\right]$ และ $q$ คือ $\forall x\left[\left| x \right| = -x \right]$

แล้ว เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดที่ทำให้ $p\rightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการ $x^2<2x$ เพื่อทำให้ $p$ ตรวจสอบง่ายขึ้น[/STEP]

โดยการย้ายไปด้านเดียวกันแล้วแยกตัวประกอบ ได้ $x(x-2)<0$ ซึ่งได้คำตอบเป็น $0<x<2$ ดังนั้น

$$p\equiv \exists x\left[0<x<2\right]$$

[STEP]แก้อสมการ $\left|x\right|=-x$[/STEP]

โดยการแบ่งกรณี $x<0$ และ $x\geq 0$ ได้คำตอบเป็น $x\leq0$ ซึ่งจริงๆ เห็นได้ชัดอยู่แล้วว่า จำนวนลบและศูนย์เท่านั้นที่สอดคล้องกับ $\left|x\right|=-x$ ดังนั้นจะได้

$$q\equiv \forall x\left[x\leq0\right]$$

[STEP]พิจารณากรณีที่ $p\rightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ[/STEP]

กรณีที่ $p\rightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ แสดงว่า $p\equiv T$ และ $q\equiv F$

$p\equiv T$ แสดงว่า ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนใน $\mathscr{U}$ ที่อยู่ระหว่าง $0$ กับ $2$

$q\equiv F$ ซึ่ง $\sim q\equiv \exists x\left[x>0\right]$ แสดงว่าต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนใน $\mathscr{U}$ ที่มีค่ามากกว่า $0$

จะเห็นว่า $\mathscr{U}=[0,2]$ เท่านั้นที่สอดคล้องสองเงื่อนไขข้างต้น

[ANS]$\mathscr{U}=[0,2]$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ การแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์