ให้หาค่าของ $$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{2x^{2}+3x}-\sqrt{2x^{2}-x}\right)$$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปเทอมหลังลิมิต โดยคูณด้วยคอนจูเกท[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt{2x^{2}+3x}-\sqrt{2x^{2}-x}\right) & = &\left(\sqrt{2x^{2}+3x}-\sqrt{2x^{2}-x}\right)\times\frac{\left(\sqrt{2x^{2}+3x}+\sqrt{2x^{2}-x}\right)}{\left(\sqrt{2x^{2}+3x}+\sqrt{2x^{2}-x}\right)}\\
& = & \frac{4x}{\left(\sqrt{2x^{2}+3x}+\sqrt{2x^{2}-x}\right)}
\end{eqnarray*}

ปลดค่าสัมบูรณ์ของ $\left|x\right|=-x$ เพราะว่า $x\rightarrow-\infty$ ดังนั้น $x<0$

\begin{eqnarray*}
& = & \frac{4x}{\left|x\right|\left(\sqrt{2+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-\frac{3}{x}}\right)}\\
& = & \frac{4x}{-x\left(\sqrt{2+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-\frac{3}{x}}\right)}
\end{eqnarray*}

ตัด $x$ ทั้งเศษและส่วนออก

$$=-\frac{4}{\left(\sqrt{2+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-\frac{3}{x}}\right)}$$

[STEP]คำนวณค่าลิมิต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{2x^{2}+3x}-\sqrt{2x^{2}-x}\right) & = & \lim_{x\rightarrow-\infty}-\frac{4}{\left(\sqrt{2+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-\frac{3}{x}}\right)}\\
& = & -\frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}\\
& = & -\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

[ANS]ลิมิตมีค่า $-\sqrt{2}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม ลิมิตที่อนันต์