ให้

$$A=\left\{ \emptyset,0,1,\left\{ 0,1\right\} \right\},\\
S=\left\{ f:P\left(A\right)\rightarrow A|f\left(x\right)\neq x\right\}$$

และ

$$T=\left\{ f:A\rightarrow P\left(A\right)|f\text{ เป็นฟังก์ชัน }1-1\right\} $$

จงหาจำนวนสมาชิกของ $S-T$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการลบกันของ $S$ และ $T$[/STEP]

เนื่องจาก $S$ และ $T$ เป็นเซตของฟังก์ชันที่มีโดเมนที่มีจำนวนสมาชิกไม่เท่ากัน ดังนั้น $S-T=S$ นั่น คือ ต้องนับจำนวนฟังก์ชันจาก $P(A)$ ไป $A$ ที่ $f(x)\neq x$ 

[STEP]หาสมาชิกที่ซ้ำกันของ $P(A)$ และ $A$[/STEP]

$$P(A)\cap A = \left\{\emptyset, \{0,1\}\right\}$$

ดังนั้น $f(\emptyset)\neq \emptyset$ และ $f(\{0,1\})\neq \{0,1\}$

[STEP]นับจำนวนฟังก์ชันจาก $P(A)$ ไป $A$ ที่ $f(x)\neq x$[/STEP]

โดยการให้สมาชิกใน $P(A)$ เลือกสมาชิกใน $A$

  • $\emptyset$ เลือกได้ $3$ ตัว (ต้องยกเว้น $\emptyset$ เอง)
  • $\{0,1\}$ เลือกได้ $3$ ตัว (ต้องยกเว้น $\{0,1\}$ เอง)
  • ที่เหลือเลือกได้ $4$ ตัว

ดังนั้นจำนวนสมาชิกใน $S$ เท่ากับ

$$3\times 3\times 4^{(2^4-2)}=3^2\times2^{28}$$

[ANS] จำนวนสมาชิกของ $S-T$ เท่ากับ $3^2\times 2^{28}$[/ANS]