ในขั้นตอนการรวบรวมคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการบันทึกผิดจาก $60$ ไปเป็น $65$ และผิดจาก $90$ ไปเป็น $92$  ทำให้คำนวณค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ $90$ ของคะแนนสอบได้ $82$ คะแนน

ถ้าให้ $P_{90}$ แทนเปอร์เซ็นไทล์ที่ $90$ ที่แท้จริง  ข้อใดต่อไปนี้กล่าวได้ถูกต้องที่สุด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดแผนภาพข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก[/STEP]

[STEP]พิจารณากรณีตำแหน่งของ $P_{90}$ เป็นจำนวนเต็ม[/STEP]

เช่นกรณีมีนักเรียน 199 คนพอดี จะได้

$$\#P_{90}=\frac{90}{100}\times (199+1)=180$$

จะเห็นว่าคะแนนที่เปลี่ยนแปลงจากการบันทึกผิดไปไม่ได้เปลี่ยนตำแหน่งของ $P_{90}$ ไปเลย ดังนั้นกรณีเช่นนี้ $P_{90}$ จะมีค่าเท่าเดิม คือ $82$ คะแนน

[STEP]พิจารณากรณีที่ ตำแหน่งของ $P_{90}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม[/STEP]

เช่น $\#P_{90}=20.5$ ค่า $P_{90}$ จะต้องมีการเฉลี่ยระหว่างคะแนนของนักเรียนสองคน ถ้าหากคะแนนของนักเรียนสองคนดังกล่าวเปลี่ยนไป ค่า $P_{90}$ ก็จะเปลี่ยนไปด้วย

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก[/STEP]

ตัวเลือก A ผิด

เพราะ อาจจะเปลี่ยนเพราะ $P_{90}$ อาจได้จากการเฉลี่ยของคะแนนของนักเรียนสองคน

ตัวเลือก B ผิด

ในกรณี $n=90$, $\#P_{90} = \frac{90}{100}\times (90+1)$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม $P_{90}$ จึงอาจไม่ใช่ $82$

ตัวเลือก C ผิด

เพราะอาจจะคำนวณได้ $82$ พอดีเช่น มีนักเรียน $199$ คนพอดี จะได้ $P_{90}=82$ เท่าเดิม

ตัวเลือก D ถูก

เพราะการมีนักเรียนคนหนึ่งได้คะแนน $85$ เป็นการรับประกันว่า $P_{90}$ ไม่ได้เกิดจากการเฉลี่ยกันกับ $90$ หรือ $92$ อย่างแน่นอน ดังนั้นจึงเหลือกรณีที่ $P_{90}$ อาจเกิดจากการเฉลี่ยกันของจำนวนทางซ้าย(ด้านที่คะแนนน้อย) ซึ่งอาจทำให้มีค่า $P_{90}$ น้อยลงกว่าเดิม นั่นคือ $P_{90}\leq 82$
 
ตัวเลือก E ผิด

เพราะ คะแนนที่ถูกต้องน้อยกว่าคะแนนที่บันทึกผิดไปทั้งสองครั้ง ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะต้องมีค่าน้อยลง ไม่ใช่เพิ่มขึ้น

[ANS]ตัวเลือก D ถูก[/ANS]

คำตอบของข้อนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนนักเรียนในกลุ่มนี้ว่าจะสามารถคำนวณค่าต่ำแหน่งของ $P_{90}$ ออกมาเป็นจำนวนเต็มได้หรือไม่

ความรู้ที่ใช้ : เปอร์เซ็นไทล์