เวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ ทำมุมกัน $\frac{\pi}{6}$ แล้ว $\vec{u}-2\vec{v}$ กับ $\vec{u}+2\vec{v}$ ทำมุมกันเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรขนาดกำลังสองของ $\vec{u}-2\vec{v}$ และ $\vec{u}+2\vec{v}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}+4\left|\vec{v}\right|^{2}-4\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\frac{\pi}{6}\\
& = & 5-2\sqrt{3}\\
\left|\vec{u}+2\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}+4\left|\vec{v}\right|^{2}+4\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\frac{\pi}{6}\\
& = & 5+2\sqrt{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]คูณค่าขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองเข้าด้วยกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{u}+2\vec{v}\right| & = & \sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}\\
& = & \sqrt{25-12}\\ & = & \sqrt{13}
\end{eqnarray*}

[STEP]นำเวกเตอร์ทั้งสองมาดอทกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\vec{u}-2\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right) & = & \left|\vec{u}\right|^{2}-4\left|\vec{v}\right|^{2}\\
& = & 1-4\\
& = &3
\end{eqnarray*}

[STEP]ใช้สูตรผลดอท ขนาด และมุม ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง[/STEP]

$$\left(\vec{u}-2\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right)=\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|\left|\vec{u}+2\vec{v}\right|\cos\theta$$

โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองที่โจทย์ต้องการ

\begin{eqnarray*}
\cos\theta & = & \frac{\left(\vec{u}-2\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right)}{\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|\left|\vec{u}+2\vec{v}\right|}\\
& = & \frac{-3}{\sqrt{13}}
\end{eqnarray*}

[ANS]มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากับ $\text{arccos} \left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท