จงหาจำนวนเต็ม $R$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้วงกลม

$$x^2+y^2+16x-8y+R=0$$

ตัดแกน $x$ แต่ไม่ตัดแกน $y$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการวงกลม หารัศมีในเทอมของ $R$[/STEP]

สมมุติให้รัศมีของวงกลมนี้ยาว $r$ หน่วย

ทำกำลังสองสัมบูรณ์

\begin{eqnarray*}
\left(x+8\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2} & = & 64+16-R\\
& = & 80-R
\end{eqnarray*}

ดังนั้นแสดงว่า $r^2 = 80-R$

[STEP]วาดรูปประกอบ แล้วพิจารณาเงื่อนไขของ $R$ จากรัศมี ระยะไปยังแกน $x$ และ $y$[/STEP]

จากสมการวงกลมพบว่ามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(-8,4)$ 

  • วงกลมตัดแกน $x$ ดังนั้น $r\geq 4$ (สัมผัสพอดี ก็เรียกว่าตัดเช่นกัน)
  • วงกลมไม่ตัดแกน $y$ ดังนั้น $r<8$

จะได้อสมการ $4\leq r < 8$ หรือ $16\leq r^2 < 64$

[STEP]แทนค่า $r^2$ ในเทอม $R$ ลงในเงื่อนไขที่ได้เพื่อแก้สมการหา $R$[/STEP]

แทนค่า $r^2=80-R$

\begin{eqnarray*}
16\leq & r^{2} & <64\\
16\leq & 80-R & <64\\
16-80\leq & -R & <60-80\\
-64\leq & -R & <-16\\
16< & R & \leq64
\end{eqnarray*}

[ANS]จำนวนเต็ม $R$ ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไข คือ $R=17$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม โจทย์ปัญหาภาคตัดกรวยประยุกต์