ให้ $$K=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots$$ และ $$M=\frac{1}{3^{2}}\left(\frac{4}{1}\right)+\frac{1}{5^{2}}\left(\frac{8}{3}\right)+\frac{1}{7^{2}}\left(\frac{12}{5}\right)+\cdots+\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\left(\frac{4n}{2n-1}\right)+\cdots$$เขียน $M$ ในเทอมของ $K$ ได้เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปเทอมของอนุกรมใน $M$ โดยแยกเศษส่วนย่อย[/STEP]

$$\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\left(\frac{4n}{2n-1}\right)=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}+\frac{C}{\left(2n+1\right)^{2}}$$

คูณตลอดด้วย $\left(2n+1\right)^{2}\left(2n-1\right)$

จะได้

$$4n=A\left(2n+1\right)^{2}+B\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)+C\left(2n-1\right)$$

  • แทนค่า $n=\frac12$ ได้ $A=\frac12$
  • แทนค่า $n=-\frac12$ ได้ $C=1$
  • แทนค่า $A=\frac12$, $C=1$ ได้ $B=-\frac12$

ดังนั้น

$$\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\left(\frac{4n}{2n-1}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{2n+1}+\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}$$

จะได้

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{2n+1}+\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\right)$$

ซึ่งมีสองเทอมแรกเป็นอนุกรมเทเลสโคป และอนุกรุม $M$ เป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อเทียบกับอนุกรมพี

$$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$

[STEP]คำนวณผลรวมอนุกรมเทเลสโคปในอนุกรม $M$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) & = & \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots\right]\\
& = & \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1}\right]
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีผลรวมอนุกรมเทเลสโคปเท่ากับ $\frac12$

[STEP]จัดรูปอนุกรม $K$ ให้ตรงกับส่วนที่เหลือในอนุกรม $M$[/STEP]

นำ $K$ มาจัดรูปให้ได้เทอมเลขคี่ดังนี้

\begin{eqnarray*}
K & = & \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots\\
\frac{1}{4}\left(1+K\right) & = & \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\cdots\\
K-\frac{1}{4}\left(1+K\right) & = & \frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\cdots \end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่ากลับเข้าไปในอนุกรม $M$ แล้วจัดรูป[/STEP]

\begin{eqnarray*}
M & = & \left[\frac{1}{2}\right]+\left[K-\frac{1}{4}\left(1+K\right)\right]\\
& = & \frac{3}{4}K+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}

[ANS]$M=\frac34K+\frac14$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อนุกรมเทเลสโคป