ให้ $x=\sin 1^\circ$ ถ้าจัดรูป $$2\sin1^{\circ}+4\sin2^{\circ}+6\sin3^{\circ}+\cdots+360\sin180^{\circ}$$ ให้อยู่ในรูป $x$ จะได้ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จับคู่ให้มีมุมรวมกันเท่ากับ $180^{\circ}$ และสัมประสิทธิ์เท่าๆ กันทุกเทอม[/STEP]

\begin{align}
[(2\sin1^{\circ} &+ 358\sin179^{\circ})+\left(4\sin2^{\circ}+356\sin178^{\circ}\right)+\cdots+\left(178\sin89^{\circ}+182\sin91^{\circ}\right)]\\
 &+180\sin90^{\circ}+360\sin180^{\circ}\\
 = &\left[360\sin1^{\circ}+360\sin2^{\circ}+360\sin3^{\circ}+\cdots+360\sin89^{\circ}\right]+180(1)+360(0)\\
 = &360\left[\sin1^{\circ}+\sin2^{\circ}+\sin3^{\circ}+\cdots+\sin89^{\circ}\right]+180
\end{align}

[STEP]รวมค่า $\sin1^{\circ}+\sin2^{\circ}+\cdots+\sin89^{\circ}$ เข้าด้วยกัน[/STEP]

โดยใช้เทคนิคคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sin\left(\frac12\right)^{\circ}$

\begin{align}
\sin1^{\circ}&+\sin2^{\circ}+\cdots+\sin89^{\circ}\\
& = \frac{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}}\left(\sin1^{\circ}+\sin2^{\circ}+\cdots+\sin89^{\circ}\right)\\
& = \frac{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}\sin1^{\circ}+\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}\sin2^{\circ}+\cdots+\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}\sin89^{\circ}}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}}
\end{align}

[STEP]ใช้สูตรเปลี่ยนผลคูณเป็นผลบวก[/STEP]

ใช้สูตร

$$-2\sin A\sin B=\cos(A+B)-\cos(A-B)$$

และตัดเทอมที่เท่าๆ กันทิ้งไป

\begin{align}
\sin1^{\circ}&+\sin2^{\circ}+\cdots+\sin89^{\circ}\\
& = \frac{2\sin\frac{1}{2}^{\circ}\sin1^{\circ}+2\sin\frac{1}{2}^{\circ}\sin2^{\circ}+\cdots+2\sin\frac{1}{2}^{\circ}\sin89^{\circ}}{2\sin\frac{1}{2}^{\circ}}\\
& = \frac{\left[\cos\left(-\frac{1}{2}\right)^{\circ}-\cos\frac{3}{2}^{\circ}\right]+\left[\cos\left(-\frac{3}{2}\right)^{\circ}-\cos\frac{5}{2}^{\circ}\right]+\cdots+\left[\cos\left(-\frac{177}{2}\right)^{\circ}-\cos\frac{179}{2}^{\circ}\right]}{2\sin\frac{1}{2}^{\circ}}\\
& = \frac{\left[\cos\frac{1}{2}^{\circ}-\cos\frac{3}{2}^{\circ}\right]+\left[\cos\frac{3}{2}^{\circ}-\cos\frac{5}{2}^{\circ}\right]+\cdots+\left[\cos\frac{177}{2}^{\circ}-\cos\frac{179}{2}\right]}{}\\
& = \frac{\left[\cos\frac{179}{2}^{\circ}-\cos\frac{1}{2}\right]}{2\sin\frac{1}{2}^{\circ}}
\end{align}

[STEP]รวม $\cos\frac{179}{2}-\cos\frac12$ เข้าด้วยกัน[/STEP]

ใช้สูตรเปลี่ยนผลบวกเป็นผลคูณ และสูตรมุมสองเท่า

\begin{eqnarray*}
\frac{-\frac{1}{2}\left[-\cos\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}+\cos\left(\frac{179}{2}\right)^{\circ}\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}} & = & \frac{-\frac{1}{2}\left[-2\sin\left(\frac{\frac{179}{2}+\frac{1}{2}}{2}\right)^{\circ}\sin\left(\frac{\frac{179}{2}-\frac{1}{2}}{2}\right)^{\circ}\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}}\\
& = & \frac{\sin45^{\circ}\sin\left(\frac{89}{2}\right)^{\circ}}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}}\\
& = & \frac{\sin45^{\circ}\sqrt{1-\cos89^{\circ}}}{\sqrt{1-\cos1^{\circ}}}
\end{eqnarray*}

เปลี่ยน $\cos89^{\circ}=\sin1^{\circ}$ และ $\cos1^{\circ}=\sqrt{1-\sin^21^{\circ}}$ ได้

$$=\frac{\sin45^{\circ}\sqrt{1-\sin1^{\circ}}}{\sqrt{1-\sqrt{1-\sin^{2}1^{\circ}}}}$$

[STEP]แทนค่าที่ได้กลับไปในเทอมที่โจทย์ถาม[/STEP]

$$360\left(\frac{\sin45^{\circ}\sqrt{1-\sin1^{\circ}}}{\sqrt{1-\sqrt{1-\sin^{2}1^{\circ}}}}\right)+180=\frac{180\sqrt{2}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}}+180$$

[ANS]ตอบข้อ C[/ANS] 

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า เทคนิคการจัดรูปผลรวมฟังก์ชันตรีโกณที่มีระยะห่างมุมเท่ากัน สูตรเปลี่ยนคูณเป็นบวก สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณ