จงหาค่าของ $$

\lim_{x\rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x}-\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{\left|x^2-1\right|-3}}

$$ 

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ปลดค่าสัมบูรณ์และจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย[/STEP]

เมื่อ $x\rightarrow 2^{+}$ พบว่า $\left(x^2-1\right)\rightarrow 3^{+}$ ดังนั้น

$$\left|x^2-1\right|=x^2-1$$ 

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{\left|x^{2}-1\right|-3}} & = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{\left(x^{2}-1\right)-3}}\\
& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\left(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\sqrt{x^{2}-4}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\right)\\
& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{x^{2}-4}}
\end{eqnarray*}

[STEP]คูณทั้งเศษและส่วนด้วยคอนจูเกท[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow2^{+}}1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{x^{2}-4}} & = & 1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-2}}\\
& = & 1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{x-\left(x^{2}-2\right)}{\sqrt{x^{2}-4}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-2}\right)}\\
\end{eqnarray*}

[STEP]แยกตัวประกอบ ตัดตัวร่วม และใช้วิธีแทนค่า[/STEP]

\begin{eqnarray*}
& = & 1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}\cdot\sqrt{x-2}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-2}\right)}\\
& = & 1+\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left(x+1\right)\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-2}\right)}\\
& = & 1+0
\end{eqnarray*}

[ANS]$1$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม ลิมิตติดค่าสัมบูรณ์ ลิมิตทางเดียว