ถ้าลำดับ $\displaystyle a_n = \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx$

แล้ว $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]อินทิเกรตเพื่อหา $a_n$[/STEP]

ลำดับ $\displaystyle a_n = \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx$

\begin{eqnarray*}
\int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx &=& \int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} x^{-2} dx\\
&=& \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}}\\
&=& \left[ -\frac{1}{x} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า

\begin{eqnarray*}
\left[ -\frac{1}{x} \right]_n^{\frac{n(n+2)}{2}} &=& -\frac{1}{\frac{n(n+2)}{2}} - \left ( -\frac{1}{n} \right)\\
&=& -\frac{2}{n(n+2)} + \frac{1}{n}\\
&=& -\frac{2}{n(n+2)} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n+2}{n+2}\\
&=& \frac{-2 + n + 2}{n(n+2)}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\int_n^{\frac{n(n+2)}{2}} \frac{1}{x^2} dx &=& \frac{n}{n(n+2)}\\
&=& \frac{1}{n+2}
\end{eqnarray*}

ลำดับจึงเป็น $$\displaystyle a_n = \frac{1}{n+2}$$

[STEP]หาผลบวกอนันต์[/STEP]

ต้องการหาผลบวกอนันต์

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\\
&=& \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + ...
\end{eqnarray*}

จะเป็นว่าเป็นอนุกรมเทเลสโคปิกที่มีระยะห่างของตัวส่วนคือ $2$ เราจึงคูณด้วย $\dfrac22$ เข้าไป

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \frac22 \left( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + ... \right)\\
&=& \frac12 \left( \frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{2 \times 4} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{4 \times 6} + ... \right)\\
&=& \frac12 \left( \frac11 - \frac13 + \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac15 + \frac14 - \frac16 + ... \right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งแต่ละพจน์จะตัดกันดังนี้

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} &=& \frac12 \left( \frac11 - \cancel{\frac13} + \frac12 - \cancel{\frac14} + \cancel{\frac13} - \cancel{\frac15} + \cancel{\frac14} - \cancel{\frac16} + ... \right)\\
&=& \frac12 \left( 1 + \frac12 \right)\\
&=& \frac12 \times \frac32\\
&=& \frac34
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{3}{4}$[/ANS]

อนุกรมเทเลสโคปิกแบบอนันต์อาจไม่ได้ตัดกันแล้วเหลือแค่พจน์แรกพจน์เดียวก็ได้ครับ

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต อนุกรมเทเลสโคป ปริพันธ์และการอินทิเกรต