ถ้า $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว ซึ่งอสมการ $\displaystyle \frac{x+a}{(x+b)^2} \geq 0$ มีเซตคำตอบคือ $(1, \infty)$ แล้ว ข้อใดคือค่าของ $a+b$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาพจน์ทางซ้ายมือของอสมการ[/STEP]

จากอสมการ $$\displaystyle \frac{x+a}{(x+b)^2} \geq 0$$

จะเห็นว่าตัวส่วน $(x+b)^2 \geq 0$ เสมอ

ดังนั้นเราจึงได้ว่าตัวเศษต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $0$ ด้วย เมื่อหารกันแล้วจึงจะได้ค่า $\geq 0$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
x+a &\geq& 0\\
x &\geq& -a
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาเงื่อนไขของคำตอบ[/STEP]

เนื่องจากตัวส่วนคือ $(x+b)^2$ ซึ่งห้ามเป็น $0$ เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(x+b)^2 &\neq& 0\\
x+b &\neq& 0\\
x &\neq& -b
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาคำตอบ[/STEP]

เราได้ว่าคำตอบของอสมการคือ $x \geq -a$ โดยที่ $x \neq -b$

ซึ่งโจทย์กำหนดให้คำตอบคือ $x \in (1, \infty)$ หรือ $x > 1$

แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
-a &=& 1\\
a &=& -1
\end{eqnarray*}

แล้วเราจะได้คำตอบของอสมการเป็น $x \in \left[ 1, \infty \right)$

เงื่อนไขเพิ่มเติมคือ $x \neq -b$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
-b &=& 1\\
b &=& -1
\end{eqnarray*}

จึงจะได้คำตอบของอสมการเป็น $x \in \left[ 1, \infty \right)$ โดยที่ $x \neq 1$ หรือว่า $x \in (1, \infty)$ จริงๆ

เพราะฉะนั้น $$a + b = -1 + (-1) = -2$$

[ANS]$-2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม