วงกลมวงหนึ่งผ่านจุด $(6, 4)$ โดยเส้นผ่านศูนย์กลาง $2$ เส้น ของวงกลมนี้คือส่วนของเส้นตรง $2x+y=5$ และ $x+3y=10$

ความยาวของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]หาจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้[/step]

โจทย์กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นส่วนของเส้นตรงสองเส้น $2x+y=5$ และ $x+3y=10$ ซึ่งทั้งสองต่างก็ต้องผ่านจุดศูนย์กลาง แต่เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นตัดกันได้มากที่สุดเพียงจุดเดียว (กรณีนี้ไม่ซ้อนทับกันเพราะความชันต่างกัน) เราจึงหาจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง ซึ่งจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้นั่นเอง

แก้ระบบสมการ $\begin{cases} 2x+y=5 \qquad \cdots (1)\\ x+3y=10\qquad \cdots (2)\end{cases}$

ปรับสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ให้เท่ากัน โดยการคูณ $2$ ตลอดสมการ $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2x+y &=&5 \qquad \cdots (1)\\
2x+6y &=& 20 \qquad \cdots 2\times (2)\\
\end{eqnarray*}

จับสองสมการลบกันได้

\begin{eqnarray*}
5y &=& 15\\
y &=& 3
\end{eqnarray*}

แทนค่า $y=3$ ลงใน $(1)$

\begin{eqnarray*}
2x+(3) &=& 5\\
2x &=& 2\\
x&=&1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุดตัดของเส้นตรงทั้งสองซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มีค่า $x=1$ และ $y=3$ คือ $(1,3)$

[step]คำนวณรัศมีของวงกลม[/step]

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ $(1,3)$ 

โจทย์บอกว่าวงกลมนี้ผ่านจุด $(6,4)$ ซึ่งอยู่บนเส้นรอบวง ถ้าหากเราลากเส้นตรงจากจุดศูนย์กลาง $(1,3)$ ไปยังจุดบนเส้นรอบวง $(6,4)$ ก็จะได้รัศมีวงกลมพอดี เราจึงคำนวณระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
d &=& \sqrt {(6-1)^2+(4-3)^2}\\
&=& \sqrt{25+1}\\
&=& \sqrt{26}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\sqrt{26}$[/ANS]