ข้อมูลชุดหนึ่ง คือ $x,3.5,12,7,8.5,8,5$ โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดนี้เท่ากับมัธยฐาน และข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม

ถ้า $R$ แทนพิสัยของข้อมูลชุดนี้ แล้ว $R-x$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต[/STEP]

จากข้อมูลทั้งหมด จะได้

\begin{eqnarray*}
\overline{x} &=& \frac{x + 3.5 + 5 + 7 + 8 + 8.5 + 12}{7}\\
&=& \frac{x + 44}{7}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาค่า $x$ ที่เป็นไปได้[/STEP]

เมื่อเรียงข้อมูล จะได้ว่าค่า $x$ อาจเป็นไปได้ 3 กรณี

กรณีที่ 1: ถ้า $x<7$ จะได้

$3.5, 5, x, 7, 8, 8.5, 12$

นั่นคือ $Med = 7$

จาก $\overline{x} = Med$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{44+x}{7} &=& 7\\
44 + x &=& 49\\
x &=& 5
\end{eqnarray*}

จะได้ $Mode = 5$ ซึ่งขัดกับโจทย์ที่บอกว่าข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม

ดังนั้น กรณีที่ 1 เป็นไปไม่ได้

กรณีที่ 2: ถ้า $x>8$ จะได้

$3.5, 5, 7, 8, x, 8.5, 12$

นั่นคือ $Med = 8$

จาก $\overline{x} = Med$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{44+x}{7} &=& 8\\
44 + x &=& 56\\
x &=& 12
\end{eqnarray*}

จะได้ $Mode = 12$ ซึ่งขัดกับโจทย์ที่บอกว่าข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม

ดังนั้น กรณีที่ 2 เป็นไปไม่ได้

กรณีที่ 3: ถ้า $7<x<8$ จะได้

$3.5, 5, 7, x, 8, 8.5, 12$

นั่นคือ $Med = x$

จาก $\overline{x} = Med$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{44+x}{7} &=& x\\
44 + x &=& 7x\\
x &=& \frac{44}{6}
\end{eqnarray*}

ซึ่งทำให้ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม ดังนั้น จะได้ว่า $\displaystyle x = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}$

[STEP]หา $R - x$[/STEP]

พิสัยของข้อมูลคือ $R = 12 - 3.5 = 8.5$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
R - x &=& 8.5 - \frac{22}{3}\\
&=& \frac{17}{2} - \frac{22}{3}\\
&=& \frac{51}{6} - \frac{44}{6}\\
&=& \frac{7}{6}
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $\dfrac76$ [/ANS]