,

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) &=& [(\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{u}] - [(\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{v}]\\ &=& [(\vec{u} \times \vec{u}) + (\vec{v} \times \vec{u})] - [(\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{v} \times \vec{v})] \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ และ $\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$

จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} (\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) &=& \vec{0} + (\vec{v} \times \vec{u}) - (\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{0}\\ &=& (\vec{v} \times \vec{u}) - [-(\vec{v} \times \vec{u})]\\ &=& (\vec{v} \times \vec{u}) + (\vec{v} \times \vec{u})\\ &=& 2 (\vec{v} \times \vec{u}) \end{eqnarray*}$$

,

จาก $\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\times\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} 2 (\vec{v} \times \vec{u}) &=& 2 \vec{i} - 4 \vec{j} + \sqrt{5} \vec{k}\\ \left| 2 (\vec{v} \times \vec{u}) \right| &=& \left| 2 \vec{i} - 4 \vec{j} + \sqrt{5} \vec{k} \right|\\ 2 \left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (\sqrt{5})^2 }\\ 2 \left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| &=& 5 \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| = \left|  \vec{u} \times \vec{v} \right|$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} 2 \left|  \vec{u} \times \vec{v} \right| &=& 5\\ \left|  \vec{u} \times \vec{v} \right| &=& \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \left|3\vec{u}\times3\vec{v}\right| &=& 3(3) \left|\vec{u} \times \vec{v}\right|\\ &=& 9 \left( \frac{5}{2} \right)\\ &=& \frac{45}{2} \end{eqnarray*}$$