กำหนดให้ $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ เป็นเวกเตอร์ใน $3$ มิติ และ

$$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\times\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}$$

แล้ว $\left|3\vec{u}\times3\vec{v}\right|$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) &=& [(\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{u}] - [(\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{v}]\\
&=& [(\vec{u} \times \vec{u}) + (\vec{v} \times \vec{u})] - [(\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{v} \times \vec{v})]
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ และ $\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) &=& \vec{0} + (\vec{v} \times \vec{u}) - (\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{0}\\
&=& (\vec{v} \times \vec{u}) - [-(\vec{v} \times \vec{u})]\\
&=& (\vec{v} \times \vec{u}) + (\vec{v} \times \vec{u})\\
&=& 2 (\vec{v} \times \vec{u})
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\left| \vec{u} \times \vec{v} \right|$[/STEP]

จาก $\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\times\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
2 (\vec{v} \times \vec{u}) &=& 2 \vec{i} - 4 \vec{j} + \sqrt{5} \vec{k}\\
\left| 2 (\vec{v} \times \vec{u}) \right| &=& \left| 2 \vec{i} - 4 \vec{j} + \sqrt{5} \vec{k} \right|\\
2 \left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (\sqrt{5})^2 }\\
2 \left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| &=& 5
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\left|  \vec{v} \times \vec{u} \right| = \left|  \vec{u} \times \vec{v} \right|$

จะได้

\begin{eqnarray*}
2 \left|  \vec{u} \times \vec{v} \right| &=& 5\\
\left|  \vec{u} \times \vec{v} \right| &=& \frac{5}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\left|3\vec{u}\times3\vec{v}\right|$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left|3\vec{u}\times3\vec{v}\right| &=& 3(3) \left|\vec{u} \times \vec{v}\right|\\
&=& 9 \left( \frac{5}{2} \right)\\
&=& \frac{45}{2}
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $\frac{45}{2}$ [/ANS]