กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $\left|a\right|<1$ และกำหนดให้

$$S_n=(a+1)^2+(a^2+1)^2+(a^3+1)^2+\cdots+(a^n+1)^2$$

แล้วค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(S_n-n\right)}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

 

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปและหาค่า $S_n$[/STEP]

จาก 

$$S_n=(a+1)^2+(a^2+1)^2+(a^3+1)^2+\cdots+(a^n+1)^2$$

เขียนให้อยู่ในรูป $\sum$ จะได้

$$S_n=\sum_{i=1}^n\left(a^i+1\right)^2$$

จัดรูป

\begin{eqnarray*}
S_n&=&\sum_{i=1}^n\left(a^i+1\right)^2\\
&=&\sum_{i=1}^n\left(a^{2i}+2a^i+1\right)\\
&=&\sum_{i=1}^na^{2i}+\sum_{i=1}^n2a^i+\sum_{i=1}^n1
\end{eqnarray*}

พิจารณา ${\displaystyle\sum_{i=1}^na^{2i}}$

จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $a^2$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^na^{2i}&=&\frac{a^2\left(1-(a^2)^n\right)}{1-a^2}\\
&=&\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}\\
\end{eqnarray*}

พิจารณา ${\displaystyle\sum_{i=1}^n2a^{i}}$

จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $a$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n2a^{i}&=&\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
S_n&=&\sum_{i=1}^na^{2i}+\sum_{i=1}^n2a^i+\sum_{i=1}^n1\\
&=&\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}+\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}+n
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\lim$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(S_n-n\right)&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}+\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}+n-n\right)\\
&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}+\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}\right)\\
&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\left|a\right|<1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}a^{2n}&=&0\qquadและ\\
\lim_{n\rightarrow\infty}a^n&=&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(S_n-n\right)&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2\left(1-a^{2n}\right)}{1-a^2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2a\left(1-a^n\right)}{1-a}\\
&=&\frac{a^2(1-0)}{1-a^2}+\frac{2a(1-0)}{1-a}\\
&=&\frac{a^2}{(1-a)(1+a)}+\frac{2a}{1-a}\\
&=&\frac{a^2+2a(1+a)}{(1-a)(1+a)}\\
&=&\frac{3a^2+2a}{1-a^2}
\end{eqnarray*}

[ANS] $\dfrac{3a^2+2a}{1-a^2}$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต ลิมิตของลำดับ