กำหนดให้ $S=\left\{1,2,3,\cdots,10\right\}$ และ $M=\left\{\left(x,y\right) \mid x,y \in S \right\}$

ให้ $(a,b) \in M$ จงหาความน่าจะเป็นที่ $a^2+b^2<25$

เฉลยละเอียด

[STEP]นับจำนวน $b$ ที่เป็นไปได้กรณี $a=1$[/STEP]

ถ้า $a=1$ แทนค่าลงในอสมการ $a^2+b^2 <25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & < & 25\\
1^{2}+b^{2} & < & 25\\
b^{2} & < & 25-1\\
b^{2} & < & 24
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่ามี $b=1,2,3,4$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $b^2 <24$ และตั้งแต่ $b=5$ เป็นต้นไปทำให้อสมการไม่เป็นจริง

ดังนั้นกรณีนี้จึงมีทั้งหมด $4$ คู่อันดับ คือ $(1,1), (1,2), (1,3)$ และ $(1,4)$

[STEP]นับจำนวน $b$ ที่เป็นไปได้กรณี $a=2$[/STEP]

ถ้า $a=2$ แทนค่าลงในอสมการ $a^2 +b^2 <25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & < & 25\\
2^{2}+b^{2} & < & 25\\
b^{2} & < & 25-4\\
b^{2} & < & 21
\end{eqnarray*}

พบว่ามี $b=1,2,3,4$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $b^2<21$ และตั้งแต่ $b=5$ เป็นต้นไปทำให้อสมการไม่เป็นจริง

นั่นคือ กรณี $a=2$ จึงมีคู่อันดับที่สอดคล้องทั้งหมด $4$ คู่อันดับ คือ $(2,1),(2,2,),(2,3)$ และ $(2,4)$

[STEP]นับจำนวน $b$ ที่เป็นไปได้กรณี $a=3$[/STEP]

ถ้า $a=3$ แทนค่าลงในอสมการ $a^2+b^2<25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & < & 25\\
3^{2}+b^{2} & < & 25\\
b^{2} & < & 25-9\\
b^{2} & < & 16
\end{eqnarray*}

พบว่ามี $b=1,2,3$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับอสมการ $b^2<16$ ส่วน $b=4$ จะได้อสมการ $16<16$ ซึ่งไม่เป็นจริง รวมทั้ง $b>4$ ก็เช่นเดียวกัน

ดังนั้นกรณี $a=3$ จะได้คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวทั้งหมด $3$ คู่อันดับ คือ $(3,1),(3,2)$ และ $(3,3)$

[STEP]นับจำนวน $b$ ที่เป็นไปได้กรณี $a=4$[/STEP]

ถ้า $a=4$ แทนค่าลงในอสมการ $a^2+b^2<25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & < & 25\\
4^{2}+b^{2} & < & 25\\
b^{2} & < & 25-16\\
b^{2} & < & 9
\end{eqnarray*}

พบว่ามีเพียง $b=1$ และ $b=2$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับอสมการ $b^2<9$ ส่วน $b=3$ จะได้อสมการ $9<9$ ซึ่งไม่เป็นจริง และทำนองเดียวกัน $b>3$ ก็ไม่สอดคล้องกับอสมการ $b^2<9$ ดังนั้นกรณี $a=4$ จะมีเพียงสองคู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$ คือ $(4,1)$ และ $(4,2)$

[STEP]นับจำนวน $b$ ที่เป็นไปได้กรณี $a\geq5$[/STEP]

กรณี $a=5$ แทนค่าลงในอสมการ $a^2+b^2<25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & < & 25\\
5^{2}+b^{2} & < & 25\\
b^{2} & < & 25-25\\
b^{2} & < & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกใดสอดคล้องกับอสมการนี้แน่นอน

ในทำนองเดียวกันถ้าหาก $a>5$ ก็จะไม่มีจำนวนเต็มบวกใดสอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$ อีกแล้ว  ดังนั้นทั้ง $4$ กรณีข้างบนเท่านั้นที่จะทำให้ได้คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$

[STEP]สรุปจำนวนคู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$ และคำนวณความน่าจะเป็น[/STEP]

จากทั้ง $4$ กรณีในขั้นตอนด้านบน จะได้จำนวนคู่อันดับทั้งหมดดังนี้

กรณี $a=1$ มี $4$ คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$
กรณี $a=2$ มี $4$ คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$
กรณี $a=3$ มี $3$ คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$
กรณี $a=4$ มี $2$ คู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$
กรณี $a\geq5$ ไม่มีคู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$

รวมทั้ง $4$ กรณีมีจำนวนคู่อันดับที่สอดคล้องกับอสมการ $a^2+b^2<25$ ทั้งหมด $4+4+3+2=13$ คู่อันดับ

ดังนั้น $n(E) = 13$

จำนวนคู่อันดับใน $M$ ทั้งหมดเกิดจากเลือก $x$ จาก $S=\{1,2,3,\cdots,10\}$ และเลือก $y$ จากเซตเดียวกัน โดยเลือก $x,y$ มาเป็นคู่อันดับ $(x,y)$ ซึ่งลำดับก่อนหลังมีความสำคัญ ดังนั้นจึงต้องเลือกที่ละตัวดังนี้

เลือก $x$ มา $1$ ตัวจากเซต $S$ ซึ่งมีสมาชิก $10$ ตัว ได้ $\binom{10}{1} = 10$ วิธี
เลือก $y$ มา $1$ ตัวจากเซต $S$ ซึ่งมีสมาชิก $10$ ตัว ได้ $\binom{10}{1} = 10$ วิธี

จำนวนคู่อันดับใน $M$ ทั้งหมดเท่ากับ จำนวนวิธีการเลือก $x$ คูณกับ จำนวนวิธีการเลือก $y$ ดังนั้น

$$n(S) = 10\times 10 = 100$$

ซึ่งคำนวณความน่าจะเป็นได้

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{13}{100}\\
&=& 0.1300
\end{eqnarray*}

[ANS] $0.1300$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับแบบแยกกรณี