กำหนดให้ $A=\left[a_{ij}\right]$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3\times3$ โดยที่ $\det\left(A\right)>0$
กำหนดให้ $M_{ij}\left(A\right)$ แทนไมเนอร์ของสมาชิกในตำแหน่ง $a_{ij}$ โดยที่
$$\left[M_{ij}\left(A\right)\right]=\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2\\
3 & 2 & -4\\
5 & 1 & 3
\end{array}\end{bmatrix}$$ ถ้า $A^{-1}=\left[b_{ij}\right]$ แล้ว $b_{11}+b_{12}+b_{13}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาเมทริกซ์ $C(A)$ และ $\operatorname{adj}A$[/STEP]

จากความสัมพันธ์ระหว่างโคแฟกเตอร์กับไมเนอร์

$$c_{ij} = \left(-1\right)^{i+j} m_{ij}$$

จะได้เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ของ $A$ จากเมทริกซ์ไมเนอร์ของ $A$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
C\left(A\right) & = & \left[C_{ij}\left(A\right)\right]\\
 & = & \left[\left(-1\right)^{i+j}M_{ij}\left(A\right)\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{ccc}
\left(-1\right)^{1+1}M_{11} & \left(-1\right)^{1+2}M_{12} & \left(-1\right)^{1+3}M_{13}\\
\left(-1\right)^{2+1}M_{21} & \left(-1\right)^{2+2}M_{22} & \left(-1\right)^{2+3}M_{23}\\
\left(-1\right)^{3+1}M_{31} & \left(-1\right)^{3+2}M_{32} & \left(-1\right)^{3+3}M_{33}
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{ccc}
M_{11} & -M_{12} & M_{13}\\
-M_{21} & M_{22} & -M_{23}\\
M_{31} & -M_{32} & M_{33}
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

แทนค่า $M_{ij}(A)$ ที่ตำแหน่งต่างๆ จากที่โจทย์กำหนดให้ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
C\left(A\right) & = & \left[\begin{array}{ccc}
1 & -\left(-1\right) & 2\\
-\left(3\right) & 2 & -\left(-4\right)\\
5 & -\left(1\right) & 3
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
-3 & 2 & 4\\
5 & -1 & 3
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

จากนั้นหา $\operatorname{adj}(A)= C(A)^T$

\begin{eqnarray*}
\operatorname{adj}\left(A\right) & = & \left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
-3 & 2 & 4\\
5 & -1 & 3
\end{array}\right]^{T}\\
 & = & \left[\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 5\\
1 & 2 & -1\\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\det(A)$ และ $b_{11}+b_{12}+b_{13}$[/STEP]

หา $\det(A)$ จากสูตร $\det\left( \operatorname{adj} (A) \right) = \left( \det A \right)^{n-1}$ เมื่อเมทริกซ์ $A$ มีมิติเป็น $n\times n$
สำหรับในกรณีนี้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ดังนั้น $n=3$ นั่นเอง

\begin{eqnarray*}
\det\left(\operatorname{adj}\left(A\right)\right) & = & \left(\det\left(A\right)\right)^{3-1}\\
\left|\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 5\\
1 & 2 & -1\\
2 & 4 & 3
\end{array}\right| & = & \left(\det\left(A\right)\right)^{2}
\end{eqnarray*}

คำนวณ $\det\left( \operatorname{adj}(A) \right)$ 

จะได้

\begin{eqnarray*}
\det\left( \operatorname{adj} (A) \right) &=& 6 + 6 +  20 +4 +9 -20\\
&=& 25\\
\end{eqnarray*}

ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
\left( \det (A) \right)^2 &=& 25\\
\det (A) &=& \pm \sqrt{25}\\
\det (A) &=& \pm 5
\end{eqnarray*}

แต่โจทย์บอกว่า $\det(A) >0 $ ดังนั้น $\det (A) = 5$

แทนค่า $\det(A) = 5$ และ $\operatorname{adj}(A)$ เพื่อหา $A^{-1}$

\begin{eqnarray*}
A^{-1} & = & \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}\left(A\right)\\
 & = & \frac{1}{\left(5\right)}\left[\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 5\\
1 & 2 & -1\\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & 1\\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\\
\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & \frac{3}{5}
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อเทียบตำแหน่งของ $A^{-1}$ ที่โจทย์กำหนดให้แล้ว

$$\left[\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & 1\\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\\
\frac{2}{5} & \frac{4}{5} & \frac{3}{5}
\end{array}\right]$$

เราจะได้ $b_{11} = \frac15,b_{12} = -\frac35$ และ $b_{13} = 1$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
b_{11}+b_{12}+b_{13} & = & \frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)+1\\
 & = & \frac{1}{5}-\frac{3}{5}+\frac{5}{5}\\
 & = & \frac{1-3+5}{5}\\
 & = & \frac{3}{5}\\
 & = & 0.6
\end{eqnarray*}

[ANS] $0.6$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์