ผลบวกของคำตอบของสมการ $$\log_{2}{x}+6\log_{x}{2}-5=0$$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการหาค่า $x$[/STEP]

จาก 

$$\log_{2}{x}+6\log_{x}{2}-5=0$$

ใช้สมบัติ $\log$ ที่ว่า $$\log_{a}b=\frac{\log b}{\log a}$$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_{2}{x}+6\log_{x}{2}-5&=&0\\
\frac{\log x}{\log2}+6\frac{\log2}{\log x}-5&=&0
\end{eqnarray*}

จากนั้นกำหนดให้ $y=\frac{\log x}{\log2}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\log x}{\log2}+6\frac{\log2}{\log x}-5&=&0\\
y+\frac{6}{y}-5&=&0\\
y^2+6-5y&=&0\\
y^2-5y+6&=&0\\
(y-2)(y-3)&=&0\\
y&=&2,3
\end{eqnarray*}

กรณีที่ $y=2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
y&=&2\\
\frac{\log x}{\log2}&=&2\\
\log_2{x}&=&2\\
2^{\log_2{x}}&=&2^2\\
x&=&4
\end{eqnarray*}

กรณี $y=3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
y&=&3\\
\log_{2}x&=&3\\
3^{\log_2{x}}&=&2^3\\
x&=&8
\end{eqnarray*}

ดังนั้นผลบวกทั้งหมดของสมการคือ

$$4+8=12$$

[ANS] $12$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการลอการิทึม