กำหนดให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสในควอดรันต์ที่ $1$ ของไฮเพอร์โบลาที่มีสมการเป็น $$\frac{x^2}{9}-\frac{\left(y-2\right)^2}{16}=1$$ จงหาว่ารัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $F$ และสัมผัสกับเส้นกำกับทั้งสองของไฮเพอร์โบลา มีความยาวเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาพิกัดของจุด $F$[/STEP]

จัดรูปสมการไฮเพอร์โบลาหาค่า $a,b$ และ $c$

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{2}}{9}-\frac{\left(y-2\right)^{2}}{16} & = & 1\\
\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{\left(y-2\right)^{2}}{4^{2}} & = & 1
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $a=3$ และ $b=4$  แทนค่าลงในความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b,c$ ของไฮเพอร์โบลา จะได้

\begin{eqnarray*}
c^{2} & = & a^{2}+b^{2}\\
c^{2} & = & 3^{2}+4^{2}\\
c^{2} & = & 9+16\\
c^{2} & = & 25\\
c & = & 5
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจะได้ระยะจากจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาไปยังจุดโฟกัสเท่ากับ $c=5$

ไฮเพอร์โบลานี้มีสัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เป็นบวก จึงเป็นไฮเพอร์โบลาอ้อมแกน $x$ ดังนั้นจุดโฟกัสจึงขยับไปทางซ้ายและทางขวาของจุดศูนย์กลางดังรูป

จากสมการ $\frac{x^2}{3^2} - \frac{(y-2)^2}{4^2} = 1$ จะได้จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาเป็น $(0,2)$ ดังนั้นจุดโฟกัสซึ่งต้องขยับไปทางซ้ายและขวา $5$ หน่วยจึงเป็น $(-5,2)$ และ $(5,2)$  แต่โจทย์ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสในควอดรันต์ที่ $1$ จึงต้องมีค่าพิกัดของ $x$ และ $y$ เป็นบวกทั้งคู่ นั่นคือ $F=(5,2)$

[STEP]หาเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา[/STEP]

จากสมการไฮเพอร์โบลา $\frac{x^2}{3^2} - \frac{(y-2)^2}{4^2} = 1$ สามารถหาสมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลานี้โดยวิธีลัดโดยการตัดเลข $1$ ด้านขวาทิ้งไป แล้วย้ายเทอม $\frac{(y-2)^2}{4^2}$ ไปด้านขวาของสมการแล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{\left(y-2\right)^{2}}{4^{2}} & = & 0\\
\frac{x^{2}}{3^{2}} & = & \frac{\left(y-2\right)^{2}}{4^{2}}\\
\frac{x}{3} & = & \pm\frac{\left(y-2\right)}{4}
\end{eqnarray*}

ซึ่งแบ่งเป็นสมการเส้นตรงสองเส้น คือ $\frac{x}{3} = \frac{y-2}{4}$ และ $\frac{x}{3} = -\frac{y-2}{4}$  จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการหาระยะทางระหว่างจุด $F$ กับเส้นกำกับเหล่านี้

\begin{eqnarray*}
\frac{x}{3} & = & \frac{\left(y-2\right)}{4}\\
4x & = & 3\left(y-2\right)\\
4x & = & 3y-6\\
4x-3y+6 & = & 0
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\frac{x}{3} & =- & \frac{\left(y-2\right)}{4}\\
4x & = & -3\left(y-2\right)\\
4x & = & -3y+6\\
4x+3y-6 & = & 0
\end{eqnarray*}

จึงได้สมการรูปทั่วไปเส้นของเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาเป็น $4x-3y+6=0$ และ $4x+3y-6=0$

[STEP]คำนวณรัศมีของวงกลมที่มีศูนย์กลางที่ $F$ และสัมผัสกับเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา[/STEP]

โจทย์ให้คำนวณหารัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $F(5,2)$ และวงกลมนี้สัมผัสกับเส้นกำกับทั้งสองของไฮเพอร์โบลาพอดี ดังนั้นความยาวรัศมีดังกล่าวมีค่าเท่ากับระยะทางจากจุด $F(5,2)$ ไปยังเส้นกำกับทั้งสองเส้น ซึ่งเราสามารถเลือกเส้นใดก็ได้ เราจึงเลือกคำนวณระยะทางจากจุด $F(5,2)$ ไปยังเส้นตรง $4x+3y-6=0$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
d & = & \frac{\left|4\left(5\right)+3\left(2\right)-6\right|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\\
 & = & \frac{\left|20+6-6\right|}{\sqrt{25}}\\
 & = & \frac{20}{5}\\
 & = & 4
\end{eqnarray*}

[ANS] $4$ หน่วย [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม ไฮเพอร์โบลา เส้นตรง