ให้ $z_1,z_2,z_3$ เป็นรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ถ้า $z_1=\sqrt{2}\left(\cos{15^{\circ}}+i\sin{15^{\circ}}\right)$ แล้วผลคูณ $z_2z_3$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจำนวนเชิงซ้อน $z$ ที่ $z_1,z_2,z_3$ เป็นรากที่ $3$[/STEP]

ให้ $z_1,z_2,z_3$ เป็นรากที่ $3$ ของ $z$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
z_{1}^{3} & = & z\\
z_{2}^{3} & = & z\\
z_{3}^{3} & = & z
\end{eqnarray*}

เลือกใช้สมการที่มี $z_1$ เพราะเราทราบค่าของ $z_1$ แทนค่า $z_1 = \sqrt2\angle15^{\circ}$ ลงไป

\begin{eqnarray*}
z_{1}^{3} & = & z\\
\left[\sqrt{2}\angle15^{\circ}\right]^{3} & = & z\\
\sqrt{2}^{3}\angle\left(15^{\circ}\times3\right) & = & z\\
2\sqrt{2}\angle\left(45^{\circ}\right) & = & z
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $z=2\sqrt2\angle45^{\circ}$

[STEP]คำนวณรากที่สามของ $z=2\sqrt2\angle45^{\circ}$[/STEP]

รากที่สามตัวแรกของ $z$ คือ $z_1$ ซึ่งตรงกับ $\sqrt2\angle15^{\circ}$ พอดี

รากที่สามตัวที่สองและตัวที่สามของ $z$ คือ

\begin{eqnarray*}
z_{2} & = & \sqrt{2}\angle\left(15^{\circ}+\frac{360^{\circ}}{3}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\angle \left(15^{\circ}+120^{\circ}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\angle \left( 135^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}

และ 

\begin{eqnarray*}
z_{3} & = & \sqrt{2}\angle\left(135^{\circ}+\frac{360^{\circ}}{3}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\angle\left(135^{\circ}+120^{\circ}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\angle\left(255^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}

 

[STEP]คำนวณผลคูณ $z_2z_3$[/STEP]

นำ $z_2$ และ $z_3$ มาคูณกันโดยนำขนาดคูณกัน และมุมบวกกันตามหลักการคูณจำนวนเชิงขั้ว

\begin{eqnarray*}
z_{2}z_{3} & = & \left(\sqrt{2}\angle135^{\circ}\right)\left(\sqrt{2}\angle255^{\circ}\right)\\
 & = & \left(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\right)\angle\left(135^{\circ}+255^{\circ}\right)\\
 & = & 2\angle390^{\circ}\\
 & = & 2\left(\cos390^{\circ}+i\sin390^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}

 

จากนั้นคำนวณค่าของ $\cos390^{\circ}$ และ $\sin390^{\circ}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\cos390^{\circ} & = & \cos\left(390^{\circ}-360^{\circ}\right)\\
 & = & \cos30^{\circ}\\
 & = & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\sin390^{\circ} & = & \sin\left(390^{\circ}-360^{\circ}\right)\\
 & = & \sin\left(30^{\circ}\right)\\
 & = & \frac12
\end{eqnarray*}

แทนค่าลงไปใน $z_2z_3$ ได้

\begin{eqnarray*}
z_{2}z_{3} & = & 2\left(\cos390^{\circ}+i\sin390^{\circ}\right)\\
 & = & 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(\frac{1}{2}\right)\right)\\
 & = & \sqrt{3}+i
\end{eqnarray*}

[ANS] $z_2z_3 = \sqrt3+i$ [/ANS]

สัญลักษณ์ $r\angle\theta$ หรือ $r\operatorname{cis}\theta$ ใช้เขียนแทน $r\left(\cos\theta + i \sin\theta\right) $ เพื่อความกระชับ

ความรู้ที่ใช้ : การถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน