,

ให้ $z_1,z_2,z_3$ เป็นรากที่ $3$ ของ $z$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} z_{1}^{3} & = & z\\ z_{2}^{3} & = & z\\ z_{3}^{3} & = & z \end{eqnarray*}$$

เลือกใช้สมการที่มี $z_1$ เพราะเราทราบค่าของ $z_1$ แทนค่า $z_1 = \sqrt2\angle15^{\circ}$ ลงไป

$$\begin{eqnarray*} z_{1}^{3} & = & z\\ \left[\sqrt{2}\angle15^{\circ}\right]^{3} & = & z\\ \sqrt{2}^{3}\angle\left(15^{\circ}\times3\right) & = & z\\ 2\sqrt{2}\angle\left(45^{\circ}\right) & = & z \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $z=2\sqrt2\angle45^{\circ}$

,

รากที่สามตัวแรกของ $z$ คือ $z_1$ ซึ่งตรงกับ $\sqrt2\angle15^{\circ}$ พอดี

รากที่สามตัวที่สองและตัวที่สามของ $z$ คือ

$$\begin{eqnarray*} z_{2} & = & \sqrt{2}\angle\left(15^{\circ}+\frac{360^{\circ}}{3}\right)\\  & = & \sqrt{2}\angle \left(15^{\circ}+120^{\circ}\right)\\  & = & \sqrt{2}\angle \left( 135^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$$

และ 

$$\begin{eqnarray*} z_{3} & = & \sqrt{2}\angle\left(135^{\circ}+\frac{360^{\circ}}{3}\right)\\  & = & \sqrt{2}\angle\left(135^{\circ}+120^{\circ}\right)\\  & = & \sqrt{2}\angle\left(255^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$$

,

นำ $z_2$ และ $z_3$ มาคูณกันโดยนำขนาดคูณกัน และมุมบวกกันตามหลักการคูณจำนวนเชิงขั้ว

$$\begin{eqnarray*} z_{2}z_{3} & = & \left(\sqrt{2}\angle135^{\circ}\right)\left(\sqrt{2}\angle255^{\circ}\right)\\  & = & \left(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\right)\angle\left(135^{\circ}+255^{\circ}\right)\\  & = & 2\angle390^{\circ}\\  & = & 2\left(\cos390^{\circ}+i\sin390^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$$

จากนั้นคำนวณค่าของ $\cos390^{\circ}$ และ $\sin390^{\circ}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \cos390^{\circ} & = & \cos\left(390^{\circ}-360^{\circ}\right)\\  & = & \cos30^{\circ}\\  & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$$

และ

$$\begin{eqnarray*} \sin390^{\circ} & = & \sin\left(390^{\circ}-360^{\circ}\right)\\  & = & \sin\left(30^{\circ}\right)\\  & = & \frac12 \end{eqnarray*}$$

แทนค่าลงไปใน $z_2z_3$ ได้

$$\begin{eqnarray*} z_{2}z_{3} & = & 2\left(\cos390^{\circ}+i\sin390^{\circ}\right)\\  & = & 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(\frac{1}{2}\right)\right)\\  & = & \sqrt{3}+i \end{eqnarray*}$$