กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ และมุม $B$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ  ถ้า $2b=3a$ และ $\hat{B}=2\hat{A}$  แล้ว $\cos A$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้กฏของไซน์ที่มุม $\hat{A}$ และ $\hat{B}$[/STEP]

จากกฏของไซน์

$$\frac{\sin\hat{B}}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{a}$$

คำนวณค่า $\frac{b}{a}$ จากสมการ $2b=3a$

\begin{eqnarray*}
2b &=& 3a\\
\frac{\cancel{2}b}{\cancel{2}} &=& \frac{3a}{2}\\
b &=& \frac{3a}{2}\\
\frac{b}{a} &=& \frac{3\cancel{a}}{2\cancel{a}}\\
\frac{b}{a} &=& \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\hat{B}=2\hat{A}$ และ $\frac{b}{a}=\frac32$ ลงในสมการจากกฏของไซน์

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin\hat{B}}{\sin\hat{A}} &=& \frac{b}{a}\\
\frac{\sin2\hat{A}}{\sin\hat{A}} &=& \frac32
\end{eqnarray*}

[STEP]ใช้สูตรไซน์มุมสองเท่า[/STEP]

จากสูตร $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin2\hat{A}}{\sin\hat{A}} &=& \frac32\\
\frac{2\sin\hat{A}\cos\hat{A}}{\sin\hat{A}} &=& \frac32\\
\frac{2\cancel{\sin\hat{A}}\cos\hat{A}}{\cancel{\sin\hat{A}}} &=& \frac32\\
2\cos\hat{A} &=& \frac32\\
\frac{\cancel{2}\cos\hat{A}}{\cancel{2}} &=& \frac{3}{2\times2}\\
\cos\hat{A} &=& \frac34\\
&=& 0.75
\end{eqnarray*}

[ANS] $\cos\hat{A}=0.75$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า กฎของไซน์