ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน  โดยที่

$$A=\left\{ z\left|\left|z-3\right|+\left|z-7\right|=6\right.\right\} $$

และ

$$B=\left\{ z \mid \left|\left|z-3\right|-\left|z-9\right|\right|=4\right\} $$

แล้วจำนวนสมาชิกของ $A\cap B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาภาคตัดกรวยที่ได้จาก $A$[/STEP]

ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของจำนวนเชิงซ้อน $\left|z-w\right|$ มีค่าเท่ากับระยะทางระหว่างจุด $z$ และ $w$ บนระนาบเชิงซ้อน

ดังนั้นจากสมการในเซต $A$

$$\left|z-3\right|+\left|z-7\right|=6$$

สามารถตีความได้ว่า "ผลรวมระยะทางจาก $z$ ไปยัง $3$ กับ ระยะทางจาก $z$ ไปยัง $7$ มีค่าเท่ากับ $6$"  ซึ่งตรงกับนิยามของวงรีที่มี $2a=6$ และมีจุดโฟกัสทั้งสองเป็น $(3,0)$ และ $(7,0)$

ระยะทางระหว่างโฟกัส $(3,0)$ และ $(7,0)$ มีค่าเท่ากับ $2c=7-3=4$

จุดศูนย์กลางของวงรีนี้ คือ จุดกึ่งกลางระหว่าง $(3,0)$ กับ $(7,0)$ ซึ่งก็คือ $\left(\frac{3+7}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(5,0)$

และเราสามารถคำนวณค่า $b^2$ ได้จากสมการ $a^2-b^2=c^2$

\begin{eqnarray*}
a^{2}-b^{2} & = & c^{2}\\
\left(3\right)^{2}-b^{2} & = & 2^{2}\\
9-b^{2} & = & 4\\
9-4 & = & b^{2}\\
5 & = & b^{2}
\end{eqnarray*}

จากข้อมูลวงรีแนวนอน มีจุดศูนย์กลางเป็น $(5,0)$ มี $a=3$ และ $b^2=5$ สามารถสร้างเป็นสมการได้ดังนี้

$$\frac{\left(x-5\right)^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1$$

[STEP]พิจารณาภาคตัดกรวยที่ได้จากเซต $B$[/STEP]

จากสมการ $\left|\left|z-3\right|-\left|z-9\right|\right|=4$ ในเซต $B$ สามารถตีความว่า

"ผลต่างของระยะทางจาก $z$ ไปยัง $3$ กับ ระยะทางจาก $z$ ไปยัง $9$ มีค่าเท่ากับ $4$"

ซึ่งตรงกับนิยามของไฮเพอร์โบล่าที่มี $2a=4$ และมีจุด $(3,0)$ และ $(9,0)$ เป็นจุดโฟกัส

หาจุดกึ่งกลางของจุดโฟกัสทั้งสองจะได้จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบล่าเป็น $\left(\frac{3+9}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(6,0\right)$

คำนวณระยะทางระหว่างโฟกัสทั้งสองได้ $2c=9-3=6$

นำค่า $a=2$ และ $c=3$ ไปแทนในสมการ $c^2=a^2+b^2$ เพื่อคำนวณค่า $b^2$

\begin{eqnarray*}
c^{2} & = & a^{2}+b^{2}\\
\left(3\right)^{2} & = & \left(2\right)^{2}+b^{2}\\
9 & = & 4+b^{2}\\
b^{2} & = & 5
\end{eqnarray*}

สร้างสมการไฮเพอร์โบล่าเปิดซ้ายขวาที่มีจุดศูนย์กลาง $(6,0)$, $a=2$ และ $b^2=5$ ได้ดังนี้

$$\frac{\left(x-6\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1$$

[STEP]วาดกราฟเพื่อนับจุดตัดระหว่างวงรีและไฮเพอร์โบล่า[/STEP]

วาดกราฟ $\frac{\left(x-5\right)^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1$ และ $\frac{\left(x-6\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1$ ลงบนกราฟเดียวกัน

ซึ่งเห็นได้จากกราฟว่ามีจุดตัด $3$ จุด ดังนั้นจำนวนสมาชิกของ $A\cap B$ เท่ากับ $3$

[ANS]$n\left(A\cap B\right)=3$[/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : วงรี ไฮเพอร์โบลา เทคนิคการแก้สมการพหุนามที่มีกราฟเป็นภาคตัดกรวย