กำหนดระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
3x+2y+2z & = & 22\\
3x+y+z & = & 14\\
x+y+z & = & 10
\end{eqnarray*}

ถ้า $A$ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง $[-10,10]$ และ

$$S=\left\{ \left(a,b,c\right)\mid\left(a,b,c\right)\text{ เป็นคำตอบของระบบสมการที่กำหนด โดยที่ }a,b,c\in A\right\} $$

แล้วจำนวนสมาชิกของเซต $S$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พยายามแก้สมการ โดยเริ่มกำจัดตัวแปร $x$[/STEP]

กำหนดหมายเลขของสมการที่โจทย์กำหนดให้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
3x+2y+2z & = & 22\quad\cdots(1)\\
3x+y+z & = & 14\quad\cdots(2)\\
x+y+z & = & 10\quad\cdots(3)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(1)-(2):$

\begin{eqnarray*}
\left(3x+2y+2z\right)-\left(3x+y+z\right) & = & 22-14\\
y+z & = & 8\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}

ปรับสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ในสมการ $(3)$ ให้เป็น $3$ เพื่อให้ตรงกับสมการ $(1)$ โดยการคูณตลอดสมการ $(3)$ ด้วยเลข $3$

\begin{eqnarray*}
3\left(x+y+z\right) & = & 3\left(10\right)\\
3x+3y+3z & = & 30\quad\cdots\left(5\right)
\end{eqnarray*}

นำ $(1)-(3):$

\begin{eqnarray*}
\left(3x+2y+2z\right)-\left(3x+3y+3z\right) & = & 22-30\\
-y-z & = & -8\\
\left(-1\right)\left(-y-z\right) & = & \left(-1\right)\left(-8\right)\\
y+z & = & 8\quad\cdots\left(6\right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าสมการ $(4)$ และ $(6)$ ซึ่งถูกกำจัดตัวแปร $x$ ออกไปแล้ว บังเอิญเป็นสมการเดียวกัน  กรณีแบบนี้เกิดขึ้นเมื่อระบบสมการมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์  โดยคำตอบของระบบสมการจะต้องสอดคล้องกับสมการ

\begin{eqnarray*}
x & = & 2\\
y+z & = & 8
\end{eqnarray*}

เท่านั้น

[STEP]พิจารณา $(a,b,c)$ ที่เป็นไปได้[/STEP]

เห็นได้ชัดว่า

$$A=\left\{-10,-9,-8,\cdots,-1,0,1,\cdots,8,9,10\right\}$$

เนื่องจาก $(a,b,c)$ เป็นคำตอบของระบบสมการที่โจทย์กำหนดให้  ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a & = & 2\\
b+c & = & 8
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า $a$ ถูกบังคับให้เป็นเลข $2$ เท่านั้น  ในขณะที่ $b$ กับ $c$ เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ที่มีผลรวมเท่ากับ $8$ และ $b,c\in A$

เพื่อที่จะนับ $b$ และ $c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เริ่มต้นจากผลบวกง่ายๆ ที่รวมกันได้ $8$ เช่น $4+4=8$ แล้ว ค่อยๆ เพิ่มลดแต่ละจำนวนไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวใดตัวหนึ่งไม่เป็นสมาชิกของเซต $A$ ซึ่งจะได้ $b$ กับ $c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในตารางนี้

$b$ $c$
$10$ $-2$
$9$ $-1$
$8$ $0$
$7$ $1$
$6$ $2$
$5$ $3$
$4$ $4$
$3$ $5$
$2$ $6$
$1$ $7$
$0$ $8$
$-1$ $9$
$-2$ $10$

ซึ่งมีทั้งหมด $13$ กรณี

[ANS]จำนวนสมาชิกของ $S$ เท่ากับ $13$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับแบบแยกกรณี การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์