กำหนดให้ $\alpha,\beta\in [-\pi,0]$  ถ้า $\sin\alpha +\sin\beta=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$ และ $\cos\alpha+\cos\beta=\frac23$  แล้ว $\alpha+\beta$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรเปลี่ยนผลบวกไซน์และโคไซน์ไปเป็นผลคูณ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
-\frac{2}{3\sqrt{3}} & = & \sin\alpha+\sin\beta\\
-\frac{2}{3\sqrt{3}}  & = & 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\quad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\frac{2}{3} & = & \cos\alpha+\cos\beta\\
\frac{2}{3} & = & 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\quad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

[STEP]นำผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณทั้งสองจากขั้นตอนที่แล้วมาหารกัน[/STEP]

$(1)\div(2):$

\begin{eqnarray*}
\frac{-\frac{2}{3\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} & = & \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}\\
-\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{2} & = & \frac{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\\
-\frac{\cancel{2}}{\bcancel{3}\sqrt{3}}\cdot\frac{\bcancel{3}}{\cancel{2}} & = & \frac{\cancel{2}\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\bcancel{\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}}{\cancel{2}\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\bcancel{\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}}\\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & = & \frac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & = & \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาค่าที่เป็นไปได้ของ $\frac{\alpha+\beta}{2}$ และ $\alpha+\beta$[/STEP]

จาก $\alpha,\beta\in[-\pi,0]$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-\pi & \leq & \alpha\leq0\quad\cdots\left(3\right)\\
-\pi & \leq & \beta\leq0\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}

นำ $(3)+(4):$

\begin{eqnarray*}
-\pi+\left(-\pi\right) & \leq & \alpha+\beta\leq0+0\\
-2\pi & \leq & \alpha+\beta\leq0\\
\frac{-2\pi}{2} & \leq & \frac{\alpha+\beta}{2}\leq\frac{0}{2}\\
-\pi & \leq & \frac{\alpha+\beta}{2}\leq0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จะได้ว่าค่า $\frac{\alpha+\beta}{2}$ มีค่าในช่วง $[-\pi,0]$

จาก $\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ จะได้ว่า $\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{\pi}{6}$ เพราะต้องอยู่ในจตุภาคที่ $3$ หรือ $4$ และมุมมีค่าอยู่ในช่วง $[-\pi,0]$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{\alpha+\beta}{2} & = & -\frac{\pi}{6}\\
2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) & = & 2\left(-\frac{\pi}{6}\right)\\
\bcancel{2}\left(\frac{\alpha+\beta}{\bcancel{2}}\right) & = & \cancel{2}\left(-\frac{\pi}{\cancelto{3}{6}}\right)\\
\alpha+\beta & = & -\frac{\pi}{3}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\alpha+\beta=-\frac{\pi}{3}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณ