,

หาความชันของเส้นตรง $L_1$ โดยการจัดรูปให้อยู่ในรูปความชัน $y=mx+b$

\begin{eqnarray*}
3x-4y+7 & = & 0\\
-4y & = & -3x-7\\
y & = & \frac{-3x-7}{-4}\\
y & = & \frac{3}{4}x+\frac{7}{4}
\end{eqnarray*}

จะได้ความชันของ $L_1$ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x$ คือ $m_1=\frac34$

เนื่องจากโจทย์บอกว่าเส้นตรง $L_1$ ขนานกับ $L_2$ เส้นตรงทั้งสองจึงมีความชันเท่ากัน นั่นคือ เส้นตรง $L_2$ จะต้องมีความชันเท่ากับ $m_2 = m_1 = \frac34$ ด้วยเช่นเดียวกัน

เมื่อเราทราบแล้วว่า $L_2$ มีความชันเท่ากับ $m_2=\frac34$ ในขณะเดียวกันเส้นตรง $L_2$ ก็เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y=x^2-\frac54x+\frac14$ ด้วย เราจึงใช้ความรู้เรื่องแคลคูลัส ดิฟสมการ $y=x^2-\frac54+\frac14$ จะได้

\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\\
\frac{dy}{dx} & = & 2x-\frac{5}{4}
\end{eqnarray*}

ซึ่งทำให้ทราบว่าเส้นโค้งดังกล่าวมีความชันที่จุดใดๆ เป็น $2x-\frac54$ และเราทราบแล้วว่าจุดที่เส้นตรง $L_2$ ไปสัมผัสกับเส้นโค้งนี้ต้องมีความชันเส้นโค้งเป็น $\frac34$ เราจึงแก้สมการหาค่าพิกัดแกน $x$ ที่จุดนั้นโดยจับความชันเส้นโค้ง $2x-\frac54$ ไปเท่ากับความชันเส้นสัมผัส $m_2 = \frac34$

\begin{eqnarray*}
2x-\frac{5}{4} & = & \frac{3}{4}\\
2x & = & \frac{3}{4}+\frac{5}{4}\\
2x & = & \frac{8}{4}\\
2x & = & 2
\end{eqnarray*}

หารด้วยสองตลอด

\begin{eqnarray*}
2x & = & 2\\
x & = & \frac{2}{2}\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุดสัมผัสของเส้นตรง $L_2$ กับเส้นโค้ง $y=x^2-\frac54x+\frac14$ มีค่าพิกัดแกน $x$ เท่ากับ $1$ 

แทนค่า $x=1$ ลงในสมการของเส้นโค้ง $y=x^2-\frac54x+\frac14$ เพื่อหาพิกัดแกน $y$ ที่จุดสัมผัสของเส้นตรง $L_2$ กับเส้นโค้งนั้น

\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\\
y & = & \left(1\right)^{2}-\frac{5}{4}\left(1\right)+\frac{1}{4}\\
y & = & 1-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\\
y & = & \frac{4}{4}-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\\
y & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่าจุดที่เส้นตรง $L_2$ สัมผัสกับเส้นโค้งนั้น มี $x=1$ และ $y=0$ นั่นคือ จุด $(1,0)$

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่าเส้นตรง $L_2$ มีความชัน $m_2 = \frac34$ และผ่านจุด $(1,0)$ (ผ่านเพราะเป็นจุดสัมผัสกับกราฟเส้นโค้งพอดี) นำมาสร้างสมการเส้นตรงโดยแทนลงไปในสมการสำหรับสร้างสมการเส้นตรง $y-y_1 = m\left( x- x_1\right)$ 

\begin{eqnarray*}
y-y_{1} & = & m\left(x-x_{1}\right)\\
y-0 & = & \frac{3}{4}\left(x-1\right)\\
y & = & \frac{3}{4}\left(x-1\right)
\end{eqnarray*}

จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยการคูณตลอดด้วย $4$ และย้ายทุกพจน์ไปด้านขวา (เพื่อให้สัมประสิทธิ์หน้า $x$ เป็น $3$ ตรงกับสมการ $L_1$)

\begin{eqnarray*}
y & = & \frac{3}{4}\left(x-1\right)\\
4y & = & 3\left(x-1\right)\\
4y & = & 3x-3\\
0 & = & 3x-3-4y\\
0 & = & 3x-4y-3
\end{eqnarray*}

จึงได้สมการเส้นตรงของ $L_2$ เป็น $3x-4y-3=0$

,

จากโจทย์สมการ $L_1$ คือ $3x-4y+7=0$ และสมการ $L_2$ จากขั้นตอนที่แล้ว คือ $3x-4y-3=0$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์หน้า $x$ และ $y$ ตรงกันแล้ว เราจึงคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองโดยแทนลงในสูตร $d=\frac{\left|C_1 - C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

\begin{eqnarray*}
d & = & \frac{\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
 & = & \frac{\left|7-\left(-3\right)\right|}{\sqrt{3^{2}+\left(-4\right)^{2}}}\\
 & = & \frac{10}{\sqrt{9+16}}\\
 & = & \frac{10}{5}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}