,

เมื่อเราแยกกำลังที่เป็นตัวเลขของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น $3$ ออกไป จะได้

\begin{eqnarray*}
3^{x+1}+3^{2-x} & = & 6\sqrt{3}\\
3^{x}\cdot3^{1}+3^{2}\cdot3^{-x}-6\sqrt{3} & = & 0\\
3\cdot\left(3^{x}\right)+9\left(\frac{1}{3^{x}}\right)-6\sqrt{3} & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราสามารถแทนตัวแปรใหม่เป็น $A=3^x$ แล้วทำให้สมการดูง่ายขึ้นได้ เราจึงสมมุติให้ $A=3^x$ และแทนลงไปในสมการด้านบนจะได้

\begin{eqnarray*}
3\cdot\left(3^{x}\right)+9\left(\frac{1}{3^{x}}\right)-6\sqrt{3} & = & 0\\
3A+\frac{9}{A}-6\sqrt{3} & = & 0
\end{eqnarray*}

,

เนื่องจากสมการ

$$3A+\frac{9}{A}-6\sqrt{3} = 0$$

มีตัวแปรอยู่ที่ส่วน และจาก $A=3^x$ ซึ่งไม่มีทางเป็นศูนย์อยู่แล้ว เราจึงคูณตลอดด้วย $A$ แล้วหารด้วย $3$ ตลอดเพราะเป็นตัวร่วมของทุกพจน์

\begin{eqnarray*}
3A+\frac{9}{A}-6\sqrt{3} & = & 0\\
3A^{2}+9-6\sqrt{3}A & = & 0\\
3A^{2}-6\sqrt{3}A+9 & = & 0\\
A^2-2\sqrt3A+3 &=& 0
\end{eqnarray*}

จากนั้นแยกตัวประกอบพหุนามด้านซ้ายของสมการ ซึ่งพบว่าเป็นกำลังสองสัมบูรณ์พอดี

\begin{eqnarray*}
A^{2}-2\sqrt{3}A+3 & = & 0\\
\left(A-\sqrt{3}\right)\left(A-\sqrt{3}\right) & = & 0\\
\left(A-\sqrt{3}\right)^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่าสมการนี้มีคำตอบในตัวแปร $A$ เพียงคำตอบเดียว คือ $A=\sqrt3$

,

แทนค่า $A=3^x$ ลงในคำตอบของตัวแปร $A$

\begin{eqnarray*}
A & = & \sqrt{3}\\
3^{x} & = & \sqrt{3}
\end{eqnarray*}

ปรับให้ $\sqrt3$ อยู่ในรูปเลขยกกำลังฐาน $3$ เพื่อปลดฐานทิ้ง

\begin{eqnarray*}
3^{x} & = & \sqrt{3}\\
3^{x} & = & 3^{\frac{1}{2}}\\
x & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}