การประยุกต์อนุพันธ์กับความเร็วและความเร่ง
ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง เราได้เรียนกันมาตั้งแต่วิทยาศาสตร์ระดับ ม.ต้น จนมาถึงวิชาฟิสิกส์ระดับ ม.ปลาย สูตรจำนวนมากมายที่เราท่องกัน เช่น หรือ นั้น เคยสงสัยกันบ้างไหมครับว่ามีที่มาอย่างไร เนื่องจากความเร่ง ของวัตถุขณะเวลา ใดๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว เทียบกับเวลา ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามสมการ เมื่อ คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา แล้ว
จะได้ และ
ดังนั้น
นั่นคือ ความเร่งขณะเวลา ใดๆ คืออนุพันธ์อันดับที่ ของ
เพราะฉะนั้น จากสมการ
จะได้ นั่นเอง
ตัวอย่างการประยุกต์เรื่องความเร็วและความเร่ง
ตัวอย่างที่ 1
วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ได้ระยะทาง เมตร เมื่อเวลาผ่านไป วินาที จงหา
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใดๆ
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา ใดๆ
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป วินาที
จาก
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใดๆ
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา ใดๆ
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป วินาที
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา ใดๆ เท่ากับ เมตร/วินาที
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา ใดๆ เท่ากับ เมตร/
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป วินาที เท่ากับ เมตร/
ตัวอย่างที่ 2
นักเรียนคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศ ก้อนหินเคลื่อนที่ได้ระยะทาง เมตร ในเวลา วินาที จงหา
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ ถึงวินาทีที่
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว วินาที
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา ใดๆ
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป วินาที
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ ถึงวินาทีที่
เนื่องจากความเร็วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ดังนั้น การหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดๆ จึงใช้วิธีเดียวกับการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย โดยในขั้นแรกต้องหาความเร็วขณะเวลา ใดๆ ก่อน
ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ ถึง คือ
ความเร็วมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินกำลังลดความเร็วลงนั่นเอง
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว วินาที
ในข้อนี้ถามระยะทางขณะ แสดงว่าเราเพียงแค่แทนค่าใน เท่านั้น
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่
จาก จะได้
ความเร็วเป็น 0 แสดงว่าก้อนหินขึ้นถึงจุดสูงสุดที่สามารถไปถึงได้ และกำลังจะเคลื่อนที่หล่นลงมา
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา ใดๆ
จาก จะได้
ความเร่งมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินมีความเร็วลดลงเรื่อยๆ
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป วินาที
เนื่องจากความเร่งขณะเวลา ใดๆ เป็นค่าคงที่เท่ากับ เมตร/ จะได้ เช่นกัน
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ ถึงวินาทีที่ เท่ากับ เมตร/วินาที
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว วินาที เท่ากับ เมตร
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ เท่ากับ เมตร/วินาที
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา ใดๆ เท่ากับ เมตร/
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป วินาที เท่ากับ เมตร/
ตัวอย่างที่ 3
ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง โดยมีสมการการเคลื่อนที่คือ เมื่อ คือระยะทาง (ฟุต) และ คือเวลา (วินาที) จงหา
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที
จาก
ความเร็วของลูกบอลขณะเวลา ใดๆ เท่ากับ เมตร/วินาที จะได้
เมตร/วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที
จาก จะได้
เมตร/วินาที
จะสังเกตได้ว่า อัตราเร็วขณะวินาทีที่ และ มีค่าเท่ากัน คือ เมตร/วินาที แต่ความเร็วของทั้งสองเวลามีทิศทางต่างกัน นั่นคือ ขณะเวลา วินาที ลูกบอลมีความเร็วเป็นบวก แสดงว่ากำลังเคลื่อนที่ขึ้น แต่ขณะเวลา วินาที ความเร็วติดลบ แสดงว่าลูกบอลกำลังเคลื่อนที่ตกลงมา
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด
จาก เรายังไม่ทราบว่าเมื่อเวลาใดที่ลูกบอลจะขึ้นสูงที่สุด แต่ขณะที่ลูกบอลขึ้นไปถึงจุดสูงสุดนั้น ลูกบอลจะหยุดนิ่ง กล่าวคือมีความเร็วเป็น เมตร/วินาที เราจึงสามารถหาเวลาได้ ดังนี้
จาก ให้
นั่นคือ ขณะเวลา วินาที ลูกบอลจะขึ้นไปสูงที่สุด ดังนั้น
เมตร
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที เท่ากับ เมตร/วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา วินาที เท่ากับ เมตร/วินาที
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด เท่ากับ เมตร